Cohomologie des Groupes et Algèbres de Lie; l’Hypothèse de Riemann pour la Cohomologie Triviale des Algèbres

de Lie Nilpotentes

Louis MAGNIN, Université de Bourgogne

                 Email: magnin@u-bourgogne.fr

Résumé On présente d’abord les différentes notions d’homologie et de coho-

mologie pour les groupes de Lie avec leurs relations, puis on introduit l’hypothèse de Riemann sur la spectralité du tore maximal dans la cohomologie à valeur complexe des algèbres de Lie nilpotentes.

Introduction

Chacun de nous connaît au moins deux résultats qui sont des résultats homologiques.

– La fameuse relation d’EULER pour les polyèdres convexes de ℝ^{3}: si S, A, F désignent respectivement le nombre de faces, d’arêtes et de sommets , on a:

S − A + F = 2.

– Le Théorème des Résidus pour les fonctions d’une variable complexe.

1 Homologie

1.1 C’est quoi?

1.1.1 p-simplexe standard de ℝ^{p}

Soit p ⩾ 1 et e_{1}^{p} = (1 0 ⋮ 0) , e_{2}^{p} = (0 1 ⋮ 0) , e_{p}^{p} = (0 0 ⋮ 1) les vecteurs de la base

canonique de ℝ^{p}. On appelle p-simplexe standard de ℝ^{p} l’enveloppe convexe Δ_{p} de {e_{1}^{p}, …, e_{p}^{p}} ∪ {0} :

Δ_{p} = {x = ∑_{i=1}^{p} λ_{i}e_{i}^{p} ; λ_{i} ⩾ 0 ∀i ; ∑_{i=1}^{p} λ_{i} ⩽ 1 }

Si l’on note e_{0}^{p} le vecteur nul, on a:

Δ_{p} = {x = ∑_{i=0}^{p} λ_{i}e_{i}^{p} ; λ_{i} ⩾ 0 ∀i ; ∑_{i=0}^{p} λ_{i} = 1 }.

e_{0}^{p}, …, e_{p}^{p} sont les sommets de Δ_{p}. Pour p = 0, on pose ℝ^{0} = {0}, e_{0}^{0} = 0, et Δ_{0} = {e_{0}^{0}}.

1.1.2 p-simplexe singulier d’un espace topologique X

On appelle p-simplexe singulier d’un espace topologique X une application continue σ : Δ_{p} → X. (Le mot ”singulier” ne se réfère pas à une nondifférentiabilité éventuelle, mais au fait que σ peut avoir des points doubles, σ n’étant pas nécessairement injective.)

1.1.3 p-chaînes singulières d’un espace topologique X

Soit S_{p}(X) l’ensemble dont les éléments sont les combinaisons ℤ-linéaires formelles (finies) ∑_{σ} n_{σ} σ de p-simplexes singuliers de X. S_{p}(X) est le ℤ-module libre ayant pour base l’ensemble des p-simplexes singuliers de X. Notons que les expressions ”ℤ-module” et ”groupe abélien” sont synonymes. Tout élément de S_{p}(X) s’écrit par définition de façon unique sous la forme ∑_{σ} n_{σ} σ. Les éléments de S_{p}(X) sont appelées p-chaînes singulières de X.

1.1.4 Opérateur bord

Pour p ⩾ 1, on appelle i-ème face (opposée au sommet numéro i) (0 ⩽ i ⩽ p) du p-simplexe standard Δ_{p} le (p − 1)-simplexe singulier de ℝ^{p} défini par l’application affine ∂_{p}^{(i)}Δ_{p} : Δ_{p−1} → ℝ^{p} qui envoie la suite des sommets (e_{0}^{p−1}, …, e_{p−1}^{p−1}) de Δ_{p−1} sur la suite des sommets (e_{0}^{p}, …, ê_{i}^{p}, …, e_{p}^{p}) de Δ_{p} privée du sommet e_{i}^{p}. On a donc pour x = ∑_{j=0}^{p−1} λ_{j}e_{j}^{p−1} ∈ Δ_{p−1} : ∂_{p}^{(i)}Δ_{p}(x) = ∑_{0⩽j<i} λ_{j}e_{j}^{p}+∑_{i⩽j⩽p−1} λ_{j}e_{j+1}^{p}. La i-ème face ∂_{p}^{(i)}σ d’un p-simplexe singulier σ : Δ_{p} → X est définie par composition : ∂_{p}^{(i)}σ = σ ∘∂_{p}^{(i)}Δ_{p}. On étend ensuite l’opérateur ∂_{p}^{(i)} à S_{p}(X) par ℤ-linéarité: ∂_{p}^{(i)} (∑_{σ} n_{σ} σ) = ∑_{σ} n_{σ} ∂_{p}^{(i)}σ.

On appelle alors opérateur bord l’opérateur ∂_{p} : S_{p}(X) → S_{p−1}(X) défini par ∂_{p} = ∑_{i=0}^{p}(−1)^{i}∂_{p}^{(i)}. Pour p = 0, on pose ∂_{0} = 0. Pour alléger l’écriture, on omettra souvent l’indice p en écrivant simplement ∂ au lieu de ∂_{p}.

Lemme 1 ∂_{p−1} ∘ ∂_{p} = 0 ∀p ⩾ 1 1.1.5 Complexe de chaînes singulier

On appelle complexe de chaînes singulier de X la suite infinie

{0} ⟵^{∂_{0}} S_{0}(X) ⟵^{∂_{1}} S_{1}(X) ⟵^{∂_{2}} S_{2}(X) … ⟵^{∂_{p}} S_{p}(X) ⟵^{∂_{p+1}} S_{p+1}(X) …

On appelle p-ième groupe d’homologie singulière de X le ℤ-module quotient

H_{p}(X) = Z_{p}(X) /B_{p}(X)

où Z_{p}(X) = Ker ∂_{p} et B_{p}(X) = Im ∂_{p+1} . Les éléments de Z_{p}(X) sont appelés p-cycles et ceux de B_{p}(X) p-bords. Si z et w sont deux p-cycles homologues, on notera z ≡ w; la classe d’homologie de z est notée [z].

1.2 π_{1}(X) et H_{1}(X)

1.2.1 groupe d’homotopie π_{1}(X)

Un chemin basé en x_{0} ∈ X est une application continue γ : [0, 1] → X telle que γ(0) = γ(1) = x_{0}. Soit C(X, x_{0}) l’ensemble des chemins basés en x_{0}.

γ, γ′ ∈ C(X, x_{0}) sont homotopes s’il existe une application continue F : [0, 1] × [0, 1] → X telle que F (0, t) = γ(t) et F (1, t) = γ′(t) ∀t. On note alors γ ∼ γ′. On désigne par π_{1}(X, x_{0}) l’ensemble des classes d’homotopie des chemins basés en x_{0}:

π_{1}(X, x_{0}) = {[γ]; γ ∈ C(X, x_{0})}

où [γ] désigne la classe d’homotopie de γ. Le composé de deux chemins γ_{1}, γ_{2} ∈ C(X, x_{0}) est le chemin γ_{1} ⋆ γ_{2} défini par

(γ_{1} ⋆ γ_{2})(t) = \begin{cases}γ_{1}(t) & 0 ⩽ t ⩽ \frac{1}{2} \\ γ_{2}(2t − 1) & \frac{1}{2} ⩽ t ⩽ 1 \end{cases}

On vérifie que si γ_{1} ∼ γ′_{1} et γ_{2} ∼ γ′_{2} alors γ_{1} ⋆ γ_{2} ∼ γ′_{1} ⋆ γ′_{2} de sorte que [γ_{1}] ⋆ [γ_{2}] = [γ_{1} ⋆ γ_{2}] est bien défini.

π_{1}(X, x_{0}) est un groupe pour la loi ⋆ (en général nonabélien si X n’est pas un groupe topologique).

Si X est localement connexe par arcs, le groupe π_{1}(X, x_{0}) ne dépend pas (à isomorphisme près) du point x_{0} ∈ X. On note alors simplement π_{1}(X) au lieu de π_{1}(X, x_{0}).

X est dit simplement connexe s’il est localement connexe par arcs et π_{1}(X) = {0}.

1.2.2 lien avec l’homologie

On a C(X, x_{0}) ⊂ Z_{1}(X). En effet, tout γ ∈ C(X, x_{0}) est un 1-simplexe singulier de X et son bord est ∂_{1}γ = γ(1) − γ(0) = 0, i.e. γ ∈ Z_{1}(X). Soit χ : C(X, x_{0}) ⟶ Z_{1}(X) l’injection canonique. Pour γ, γ′ ∈ C(X, x_{0}) , on note γ ≡ γ′ si γ et γ′ sont homologues comme éléments de Z_{1}(X), i.e. γ − γ′ ∈ B_{1}(X) ou encore χ(γ) − χ(γ′) ∈ B_{1}(X).

1.2.3

Théorème 1 1. Si γ, γ′ ∈ C(X, x_{0}) sont homotopes, ils sont homologues:

γ ∼ γ′ ⟹ γ ≡ γ′.

L’application χ passe aux quotients et définit une application

χ̄ : π_{1}(X, x_{0}) ⟶ H_{1}(X)

telle que le diagramme suivant soit commutatif:

C(X, x_{0}) ⟶^{χ} Z_{1}(X)
proj↓  ↓^{proj}
π_{1}(X, x_{0}) ⟶^{χ̄} H_{1}(X)

2. On a pour γ_{1}, γ_{2} ∈ C(X, x_{0}), γ_{1}⋆γ_{2} ≡ γ_{1}+γ_{2} ,i.e. χ(γ_{1}⋆γ_{2}) ≡ χ(γ_{1})+χ(γ_{2}). L’application χ̄ est donc un homomorphisme de groupes.

3. Si X est connexe par arcs, χ̄ est surjectif , de noyau Ker χ̄ = D(π_{1}(X, x_{0})) où D(π_{1}(X, x_{0})) est le groupe dérivé de π_{1}(X, x_{0}) (i.e. engendré par les commutateurs αβα^{−1}β^{−1} d’éléments α, β du groupe). On a donc un isomorphisme de groupes abéliens (i.e. ℤ-modules)

H_{1}(X) ≅ π_{1}(X, x_{0}) /D(π_{1}(X, x_{0})) .

1.2.4

Si X est simplement connexe, alors H_{1}(X) = {0}.

La réciproque est vraie pour un ouvert de ℂ:

Théorème 2 Un ouvert Ω de ℂ est simplement connexe si et seulement si H_{1}(Ω) = {0}.

1.2.5 caractérisation de B_{1}(Ω) par l’indice pour un ouvert de ℂ

Soit Ω un ouvert de ℂ , et γ ∈ Z_{1}(Ω) de classe C^{1} par morceaux, i.e. γ = ∑_{σ} n_{σ} σ avec des 1-simplexes singuliers σ : Δ_{1} = [0, 1] ⟶ Ω de classe C^{1} par morceaux. On note γ^{∗} = ⋃_{σ} σ(Δ_{1}), et, pour une fonction f continue sur γ^{∗}, ∫_{γ} f(ζ)dζ = ∑_{σ} n_{σ} ∫_{σ} f(ζ)dζ.

Soit z ∈ ℂ \ γ^{∗}. L’indice de z par rapport à γ est défini par Ind_{γ}(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{γ} \frac{dζ}{ζ−z}. La fonction f : z ↦ Ind_{γ}(z) est à valeurs dans ℤ, constante sur chaque composante connexe de ℂ \ γ^{∗} , nulle sur la composante connexe non bornée.

Théorème 3 γ ∈ B_{1}(Ω) ⟺ Ind_{γ}(z) = 0 ∀z ∈ ℂ \ Ω 1.2.6 Théorème de Cauchy global

Théorème 4 Soit γ ∈ B_{1}(Ω) de classe C^{1} par morceaux. Pour toute fonction f : Ω ⟶ ℂ holomorphe dans Ω, on a:

i) ∫_{γ} f(z)dz = 0 ii) f(z)Ind_{γ}(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{ζ−z}dζ ∀z ∈ ℂ \ γ^{∗}.

1.2.7 Application: Théorème des résidus

Théorème 5 Soit Ω′ = Ω \ {a_{1}, …, a_{p}}, f : Ω′ ⟶ ℂ une fonction holomorphe dans Ω′ et γ ∈ B_{1}(Ω) de classe C^{1} par morceaux ne passant par aucun des points a_{k} (1 ⩽ k ⩽ p) (on a donc γ ∈ Z_{1}(Ω′)). Alors:

∫_{γ} f(z)dz = 2iπ ∑_{k=1}^{p} Ind_{γ}(a_{k})Res(f, a_{k})

où Res(f, a_{k}) désigne le résidu de f au point a_{k}.

Démonstration.

On isole chaque a_{k} par un cercle c_{k} : t ↦ a_{k} + r_{k}e^{it} 0 ⩽ t ⩽ 2π avec des r_{k} > 0 tels que les disques D(a_{k}, r_{k}) soient 2 à 2 disjoints contenus dans Ω et que chaque cercle C(a_{k}, r_{k}) = c_{k}^{∗} ait une intersection vide avec γ^{∗}. Soit alors δ = γ − ∑_{k=1}^{p} Ind_{γ}(a_{k}) c_{k} . Si z = a_{k}, on a Ind_{δ}(a_{k}) = 0. Si z ∉ Ω, on a Ind_{δ}(z) = 0. On a donc Ind_{δ}(z) = 0 ∀z ∈ ℂ \ Ω′, et par conséquent δ ∈ B_{1}(Ω′). Le Théorème de Cauchy global s’applique donc et donne ∫_{δ} f(z)dz = 0 , donc ∫_{γ} f(z)dz = ∑_{k=1}^{p} Ind_{γ}(a_{k}) ∫_{c_{k}} f(z)dz. D’où le résultat puisque ∫_{c_{k}} f(z)dz = 2iπRes(f, a_{k}) d’après le développement de Laurent de f en a_{k}.

1.3 Exemples

1.3.1

Si X = {a}, pour tout p ⩾ 0 il existe un seul p-simplexe singulier: le simplexe constant σ_{p} : Δ_{p} → {a} . Alors S_{p}({a}) = ℤσ_{p} ≅ ℤ et ∂_{p}^{(i)}σ_{p} = σ_{p−1}, donc pour p ⩾ 1

∂_{p}σ_{p} = (∑_{i=0}^{p}(−1)^{i}) .σ_{p−1} = \begin{cases}0 & si p impair \\ σ_{p−1} & si p pair \end{cases}

i.e. Z_{p}({a}) = B_{p}({a}) = S_{p}({a}) si p est impair et Z_{p}({a}) = B_{p}({a}) = {0} si p pair. Pour p = 0, Z_{0}({a}) = S_{0}({a}) par définition, et B_{0}({a}) = {0} d’après ce qui précède. On a donc:

\begin{cases}H_{p}(\{a\}) = \{0\} & ∀p ⩾ 1 \\ H_{0}(\{a\}) ≅ ℤ \end{cases}

Fig. 1: un chemin γ et la valeur de l’indice dans les diverses composantes connexes de ℂ \ γ^{∗} 1.3.2

Soit ε : S_{0}(X) → ℤ définie par ε (∑_{x∈X} n_{x} x) = ∑_{x∈X} n_{x}. Alors B_{0}(X) ⊂ Ker ε avec égalité si X est connexe par arcs. Dans ce cas, H_{0}(X) ≅ ℤ. Si X n’est pas connexe par arcs, H_{0}(X) ≅ ℤ^{k} où k est le cardinal de l’ensemble des composantes connexes par arcs de X.

1.3.3

Si {X_{α}; α ∈ A} est l’ensemble des composantes connexes par arcs de X, H_{p}(X) = ∏_{α∈A} H_{p}(X_{α}) ∀p ⩾ 0.

1.4 Conditions sur X, Y impliquant H_{p}(X) ≅ H_{p}(Y) ∀p

1.4.1

Soient X, Y des espaces topologiques et f : X → Y continue. Soit p ⩾ 0. Pour tout p-simplexe singulier σ de X, f_{♯,p}(σ) = f ∘ σ est un p-simplexe singulier de Y. On définit f_{♯,p} : S_{p}(X) → S_{p}(Y) par ℤ-linéarité en posant f_{♯,p} (∑_{σ} n_{σ} σ) = ∑_{σ} n_{σ} f_{♯,p}(σ). On a alors f_{♯,p−1}∘∂_{p} = ∂_{p}∘f_{♯,p} ∀p ⩾ 1 de sorte que f_{♯,p} passe aux quotients et définit f_{∗,p} : H_{p}(X) → H_{p}(Y). On a Id_{∗,p} = Id et si Z est un autre espace topologique et g : Y → Z une application continue, (g ∘ f)_{∗,p} = g_{∗,p} ∘ f_{∗,p} En particulier, si f est un homéomorphisme, f_{∗,p} est un isomorphisme. L’homologie est donc un invariant topologique. On va donner des cas plus généraux où f_{∗,p} est encore un isomorphisme pour tout p ⩾ 0.

1.4.2

Comme dans le cas des chemins , deux application continues f, f′ : X → Y sont sont homotopes s’il existe une application continue F : [0, 1]×X → Y telle que F (0, x) = f(x) et F (1, x) = f′(x) ∀x ∈ X , et l’on note f ∼ f′.

Lemme 2 Si f, f′ : X → Y sont deux applications continues homotopes, alors f_{∗,p} = f′_{∗,p} ∀p ⩾ 0.

1.4.3

Corollaire 1 Soit f : X → Y continue. Si f est une équivalence-homotopie (i.e. il existe une application continue g : Y → X telle que g ∘f ∼ Id_{X} et f ∘ g ∼ Id_{Y}), alors f_{∗,p} un isomorphisme pour tout p ⩾ 0.

Corollaire 2 Soit X ⊂ Y et i : X → Y l’injection canonique. Si X est un déformation-rétract de Y (i.e. il existe une application continue g : Y → X telle que g ∘ i = Id_{X} et i ∘ g ∼ Id_{Y}), alors i_{∗,p} est un isomorphisme pour tout p ⩾ 0.

Corollaire 3 Si X est contractile, i.e. il existe a ∈ X tel que Id_{X} soit homotope à l’application constante ã : x ↦ a, alors H_{p}(X) ≅ H_{p}({a}) ∀p ⩾ 0.

En effet, {a} est un déformation-rétract de X.

1.4.4 Exemples

1. Tout convexe de ℝ^{n} est contractile.

2. La sphère 𝕊^{n−1}(n ⩾ 1) est un déformation-rétract de ℝ^{n} \ {0}. En effet, si i : 𝕊^{n−1} → ℝ^{n} \ {0} est l’injection canonique et g : ℝ^{n} \ {0} → 𝕊^{n−1} est définie par g(x) = \frac{x}{||x||}, on a g ∘ i = Id_{𝕊^{n−1}} et i ∘ g ∼ Id_{ℝ^{n}\\{0\}}, avec pour homotopie de i∘g sur Id_{ℝ^{n}\{0}} l’application F : [0, 1]×(ℝ^{n} \ {0}) → ℝ^{n} \{0} définie par F (t, x) = (1 − t)x + t\frac{x}{||x||}.

1.5 Calcul de l’homologie: suite de Mayer-Vietoris

Dans toute cette section, on suppose que X est la réunion de deux ouverts U et V.

1.5.1

Théorème 6 Si X est la réunion de deux ouverts U et V, alors:

1. Pour toute p-chaîne z ∈ S_{p}(X) , il existe une p-chaîne w ∈ S_{p}(X) de la forme w = z_{U} + z_{V} avec z_{U} ∈ S_{p}(U) et z_{V} ∈ S_{p}(V) telle que ∂z = ∂w;

2. Si z est un p-cycle de X alors z, w ∈ Z_{p}(X) sont homologues: [z] = [w].

1.5.2

Pour p ⩾ 0, considérons les applications

\begin{aligned}g_{p} : & S_{p}(U ∩ V) & ⟶ & S_{p}(U) ⊕ S_{p}(V) \\ & z & ↦ & (z, −z) \end{aligned}

\begin{aligned}h_{p} : & S_{p}(U) ⊕ S_{p}(V) & ⟶ & S_{p}(X) \\ & (z_{U}, z_{V}) & ↦ & z_{U} + z_{V} \end{aligned}

Lemme 3 Ker h_{p} = Im g_{p} ∀p ⩾ 0

Démonstration.

Si (z_{U}, z_{V}) ∈ Ker h_{p}, on a z_{U} + z_{V} = 0 et cela implique z = z_{U} = −z_{V} ∈ S_{p}(U ∩ V). En effet, z_{U} est de la forme ∑_{j} n_{j}σ_{U,j} où σ_{U,j} est un p-simplexe de U et −z_{V} est de la forme ∑_{k} m_{k}σ_{V,k} où σ_{V,k} est un p-simplexe de V. On a donc deux décompositions du même élément z dans le ℤ-module libre S_{p}(X) et par conséquent elles sont identiques, i.e. ∀j ∃k σ_{U,j} = σ_{V,k} et alors n_{j} = m_{k}. Cela prouve que Ker h_{p} ⊂ Im g_{p}, d’où l’égalité , l’inclusion réciproque étant claire.

1.5.3

g_{p} et h_{p} définissent (avec des notations évidentes):

\begin{aligned}g_{∗,p} : & H_{p}(U ∩ V) & ⟶ & H_{p}(U) ⊕ H_{p}(V) \\ & [z]_{U∩V} & ↦ & ([z]_{U}, −[z]_{V}) \end{aligned}

\begin{aligned}h_{∗,p} : & H_{p}(U) ⊕ H_{p}(V) & ⟶ & H_{p}(X) \\ & ([z_{U}]_{U}, [z_{V}]_{V}) & ↦ & [z_{U} + z_{V}]_{X} \end{aligned}

Lemme 4 Ker h_{∗,p} = Im g_{∗,p} ∀p ⩾ 0

Démonstration.

Soit ([z_{U}]_{U}, [z_{V}]_{V}) ∈ Ker h_{∗,p}. On a [z_{U} + z_{V}]_{X} = 0, donc z_{U} + z_{V} = ∂c avec c ∈ S_{p+1}(X). Soit c′ ∈ S_{p+1}(X) de la forme c′ = c_{U} + c_{V}, avec ∂c′ = ∂c, c_{U} ∈ S_{p+1}(U), c_{V} ∈ S_{p+1}(V). Alors z_{U} + z_{V} = ∂c′ = ∂c_{U} + ∂c_{V} d’où z_{U} − ∂c_{U} = −(z_{V} − ∂c_{V}) ce qui implique d’après le lemme précédent z_{U} − ∂c_{U} = −(z_{V} − ∂c_{V}) ∈ S_{p}(U ∩ V).

Cela prouve que Ker h_{∗,p} ⊂ Im g_{∗,p}, d’où l’égalité , l’inclusion réciproque étant claire.

1.5.4 le morphisme de connexion

On définit le morphisme de connexion

δ_{p+1} : H_{p+1}(X) → H_{p}(U ∩ V)

comme suit.

Soit z ∈ Z_{p+1}(X). z est homologue à un (p + 1)-cycle de la forme w = z_{U} + z_{V} , z_{U} ∈ S_{p+1}(U), z_{V} ∈ S_{p+1}(V). On a ∂z_{U} + ∂z_{V} = ∂w = 0, donc (∂z_{U}, ∂z_{V}) ∈ Ker h_{p}. Or Ker h_{p} = Im g_{p}, donc ∂z_{U} ∈ S_{p}(U ∩ V). La classe d’homologie [∂z_{U}]_{U∩V} ∈ H_{p}(U ∩ V) ne dépend pas du w = z_{U} + z_{V} utilisé, mais seulement de la classe d’homologie [z] ∈ H_{p+1}(X) de z. En effet, si w′ = z′_{U} + z′_{V} , z′_{U} ∈ S_{p+1}(U), z′_{V} ∈ S_{p+1}(V) est un autre (p + 1)-cycle homologue à z, on a z_{U} − z′_{U} + z_{V} − z′_{V} ∈ B_{p}(X). Comme dans la démonstration du lemme précédent, cela implique qu’il existe c_{U} ∈ S_{p+1}(U) tel que z_{U} − z′_{U} − ∂c_{U} ∈ S_{p}(U ∩ V), d’où ∂z_{U} − ∂z′_{U} ∈ B_{p}(U ∩ V).

On pose δ_{p+1}([z]) = [∂z_{U}]_{U∩V} ∈ H_{p}(U ∩ V).

1.5.5 La suite de Mayer-Vietoris

Théorème 7 Si X est la réunion de deux ouverts U et V, on a une suite exacte longue d’homologie

… ⟶ H_{p}(U∩V) ⟶^{g_{∗,p}} H_{p}(U)⊕H_{p}(V) ⟶^{h_{∗,p}} H_{p}(X) ⟶^{δ_{p}} H_{p−1}(U∩V) ⟶^{g_{∗,p−1}} …

… ⟶ H_{0}(U ∩ V) ⟶^{g_{∗,0}} H_{0}(U) ⊕ H_{0}(V) ⟶^{h_{∗,0}} H_{0}(X).

Démonstration.

Il reste à montrer que Im h_{∗,p} = Ker δ_{p} et Im δ_{p} = Ker g_{∗,p−1} ∀p ⩾ 1. Montrons que Im h_{∗,p} = Ker δ_{p}. Notons d’abord que Im h_{∗,p} est l’ensemble des classes d’homologie [z] qui

possèdent un représentant de la forme w = z_{U} + z_{V} où z_{U} et z_{V} sont des p-cycles de U et V. Comme par définition, δ_{p}([z]) = [∂z_{U}]_{U∩V} on voit que Im h_{∗,p} ⊂ Ker δ_{p}.

Soit maintenant [z] ∈ Ker δ_{p}. z est homologue à un p-cycle de la forme w = z_{U} +z_{V} , z_{U} ∈ S_{p}(U), z_{V} ∈ S_{p}(V), et l’on a δ_{p}([z]) = [∂z_{U}]_{U∩V} = 0, donc ∂z_{U} ∈ B_{p−1}(U ∩ V), i.e. il existe z′_{U∩V} ∈ S_{p}(U ∩ V) tel que ∂z_{U} = ∂z′_{U∩V}. Alors z_{U} − z′_{U∩V} et z_{V} + z′_{U∩V} sont des p-cycles dont la somme est w, donc [z] ∈ Im h_{∗,p}. Cela prouve que Ker δ_{p} ⊂ Im h_{∗,p}.

Montrons maintenant que Im δ_{p} = Ker g_{∗,p−1}.

D’abord Im δ_{p} ⊂ Ker g_{∗,p−1}. En effet, pour un p-cycle z ∈ Z_{p}(X), on par définition δ_{p}([z]) = [∂z_{U}]_{U∩V}, où w = z_{U} + z_{V} est un p-cycle homologue à z tel que z_{U} ∈ S_{p}(U), z_{V} ∈ S_{p}(V). Alors ∂z_{U} = −∂z_{V}, [∂z_{U}]_{U} = 0 et [∂z_{U}]_{V} = −[∂z_{V}]_{V} = 0 donc δ_{p}([z]) ∈ Ker g_{∗,p−1}.

Soit maintenant ζ ∈ Z_{p−1}(U ∩ V) tel que [ζ]_{U∩V} ∈ Ker g_{∗,p−1}, i.e. [ζ]_{U} = [ζ]_{V} = 0. On a donc ζ ∈ B_{p−1}(U) et ζ ∈ B_{p−1}(V). Soit z_{U} ∈ S_{p}(U), z_{V} ∈ S_{p}(V) tels que ζ = ∂z_{U} = ∂z_{V} . Alors z = z_{U} − z_{V} ∈ Z_{p}(X) et δ_{p}([z]) = [∂z_{U}]_{U∩V} = [ζ]_{U∩V} donc [ζ]_{U∩V} ∈ Im δ_{p}. Cela prouve que Ker g_{∗,p−1} ⊂ Im δ_{p}.

1.6 Exemple: homologie de la sphère 𝕊^{n} (n ⩾ 1)

1.6.1

Soit N le pôle nord de 𝕊^{n}, S le pôle sud , U = 𝕊^{n} \ {N}, V = 𝕊^{n} \ {S}. U et V sont homéomorphes à ℝ^{n} par la projection stéréographique, donc H_{p}(U) = H_{p}(V) = {0} ∀p ⩾ 1. U ∩ V est homéomorphe à ℝ^{n} \ {0}, donc H_{p}(U ∩ V) ≅ H_{p}(𝕊^{n−1}) puisque 𝕊^{n−1} est un déformation-rétract de ℝ^{n} \ {0}.

La suite de Mayer-Vietoris se scinde et donne pour tout p ⩾ 2 la suite exacte courte:

{0} = H_{p}(U) ⊕ H_{p}(V) ⟶^{h_{∗,p}} H_{p}(𝕊^{n}) ⟶^{δ_{p}} H_{p−1}(U ∩ V) ≅

≅ H_{p−1}(𝕊^{n−1}) ⟶^{g_{∗,p−1}} H_{p−1}(U) ⊕ H_{p−1}(V) = {0}

On a donc pour p ⩾ 2:

H_{p}(𝕊^{n}) ≅ H_{p−1}(𝕊^{n−1}) ≅ … ≅ \begin{cases}H_{p−n+1}(𝕊^{1}) & si p ⩾ n \\ H_{1}(𝕊^{n−p+1}) & si p < n \end{cases}

de sorte que le calcul de H_{p}(𝕊^{n}) est ramené au calcul de H_{1}(𝕊^{n}) et H_{p}(𝕊^{1}).

1.6.2 calcul de H_{1}(𝕊^{n}) n ⩾ 1

La suite de Mayer-Vietoris donne (pour p = 1) la suite exacte courte:

{0} = H_{1}(U) ⊕ H_{1}(V) ⟶^{h_{∗,1}} H_{1}(𝕊^{n}) ⟶^{δ_{1}} H_{0}(U ∩ V) ≅ H_{0}(𝕊^{n−1}) ⟶^{g_{∗,0}}

⟶^{g_{∗,0}} H_{0}(U) ⊕ H_{0}(V) ≅ ℤ ⊕ ℤ ⟶^{h_{∗,0}} H_{0}(𝕊^{n}) ≅ ℤ.

δ_{1} est donc injective et H_{1}(𝕊^{n}) ≅ Im δ_{1} = Ker g_{∗,0}.

Si n ⩾ 2, U ∩V est connexe par arcs, donc si x est un point fixé de U ∩V, H_{0}(U ∩ V) = ℤ · [x]_{U∩V} ≅ ℤ. Or pour n ∈ ℤ g_{∗,0}(n[x]_{U∩V}) = (n[x]_{U}, n[x]_{V}), donc Ker g_{∗,0} = {0} et H_{1}(𝕊^{n}) = {0}.

Si n = 1, U ∩ V a deux composantes connexes par arcs, donc si x, y sont deux points fixés respectivement dans chacune des composantes de U ∩ V, H_{0}(U ∩ V) = ℤ · [x]_{U∩V} ⊕ ℤ · [y]_{U∩V} ≅ ℤ ⊕ ℤ. On a dans ce cas pour n, m ∈ ℤ g_{∗,0}(n[x]_{U∩V} +m[y]_{U∩V}) = (n[x]_{U} +m[y]_{U}, n[x]_{V} +m[y]_{V}) = ((n+m)[x]_{U}, (n+ m)[x]_{V}) car, dans U, x ≡ y et pareillement dans V. Donc Ker g_{∗,0} = ℤ · [x − y]_{U∩V} et H_{1}(𝕊^{1}) ≅ ℤ.

1.6.3

Pour p ⩾ 2, on a H_{p}(𝕊^{1}) ≅ H_{p−1}(𝕊^{0}) ≅ H_{p−1}({−1}) ⊕ H_{p−1}({1}) = {0}

1.6.4

On a donc en conclusion:

H_{p}(𝕊^{n}) ≅ \begin{cases}ℤ & si p = 0 ou p = n \\ \{0\} & si 1 ⩽ p < n ou p > n \end{cases}

1.7 Nombres de Betti; caractéristique d’Euler-Poincaré

1.7.1

Soit E un ℤ-module. Rappelons que E est dit libre s’il admet une base sur ℤ. Un élément a de E est dit de torsion s’il existe n ∈ ℤ, n ≠ 0, tel que na = 0. S’il n’existe pas d’élément de torsion non nul, E est dit sans torsion.

Exemple: ℚ est sans torsion, mais n’est pas un ℤ-module libre. En effet, pour a, b ∈ ℚ^{∗}, a ≠ b, a = \frac{p}{q}, b = \frac{r}{s}, (p, r ∈ ℤ^{∗}, q, s ∈ ℕ^{∗}), on a na + mb = 0 si l’on choisit n = qr et m = −ps, donc une base de ℚ sur ℤ n’aurait qu’un seul élément , ce qui est impossible.

On a la même situation pour ℝ puisque tout sous-ℤ-module d’un ℤmodule libre est libre.

1.7.2 Classification des ℤ-modules finiment engendrés

Pour m ∈ ℕ^{∗} notons ℤ_{m} le groupe quotient ℤ /mℤ.

Théorème 8 Soit E un ℤ-module finiment engendré. Alors

E ≅ \underbrace{ℤ ⊕ … ⊕ ℤ}_{r fois} ⊕ ℤ_{m_{1}} ⊕ ℤ_{m_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{ℓ}}

où r ∈ ℕ et pour chaque i, 1 ⩽ i < ℓ, m_{i} divise m_{i+1}.

ℤ ⊕ … ⊕ ℤ = ℤ^{r} est un ℤ-module libre de type fini; r est appelé rang de E et noté rg(E).

ℤ_{m_{1}} ⊕ ℤ_{m_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{ℓ}} est appelé le sous-module de torsion de E; la suite (m_{1}, …, m_{ℓ}) est la suite des facteurs de torsion de E.

1.7.3

Soit X un espace topologique. Pour p ∈ ℕ, si H_{p}(X) est finiment engendré, on appelle p-ième nombre de Betti de X et l’on note b_{p}(X) le rang de H_{p}(X). Si H_{p}(X) n’est pas finiment engendré, on pose b_{p}(X) = ∞.

Si b_{p}(X) < ∞ ∀p ∈ ℕ, et si b_{p}(X) est nul sauf pour un nombre fini d’indices p, on appelle caractéristique d’Euler-Poincaré de X le nombre

χ(X) = ∑_{p=0}^{∞}(−1)^{p}b_{p}(X).

Le polynôme P_{X}(t) = ∑_{p=0}^{∞} b_{p}(X)t^{p} ∈ ℤ[t] est le polynôme de Poincaré. On a donc χ(X) = P_{X}(−1).

Exemple: Pour X = 𝕊^{n},

χ(𝕊^{n}) = \begin{cases}2 & si n est pair \\ 0 & si n est impair \end{cases}
P_{𝕊^{n}}(t) = 1 + t^{n}.

1.8 Théorème des coefficients

S_{p}(X) est le ℤ-module libre ayant pour base l’ensemble des p-simplexes singuliers de X. On peut définir de même si 𝕜 est un corps commutatif S_{p}(X, 𝕜) comme le 𝕜-espace vectoriel ayant pour base l’ensemble des psimplexes singuliers de X. Le lien entre S_{p}(X) et S_{p}(X, 𝕜) est donné par la notion de produit tensoriel de ℤ-modules qui permettra aussi de définir S_{p}(X, E) pour tout ℤ-module E.

1.8.1 produit tensoriel de ℤ-modules

Théorème 9 Soient E et F deux ℤ-modules. Il existe un ℤ-module unique à isomorphisme près noté E⊗_{ℤ}F tel que:

1. Il existe une application ℤ-bilinéaire π : E ×F ⟶ E⊗_{ℤ}F dont l’image engendre E⊗_{ℤ}F.

2. Pour tout ℤ-module G et toute application ℤ-bilinéaire f : E × F ⟶ G, il existe une unique application ℤ-linéaire g : E⊗_{ℤ}F ⟶ G rendant commutatif le diagramme

E × F ⟶^{f} G
π↓  g
E⊗_{ℤ}F

On note pour x ∈ E, y ∈ F : x ⊗ y = π(x, y).

1.8.2 propriétés essentielles du produit tensoriel

(i) E ⊗_{ℤ} F ≅ F ⊗_{ℤ} E (isomorphisme défini par x ⊗ y ↦ y ⊗ x)

(ii) E ⊗_{ℤ} ℤ ≅ E (isomorphismes réciproques définis par x ⊗ n ↦ nx et x ↦ x ⊗ 1)

(iii) Si F est un ℤ-module libre de base (f_{j})_{j∈J}, tout élément de E⊗_{ℤ}F s’écrit de façon unique ∑_{j} x_{j} ⊗ f_{j} avec x_{j} ∈ E, x_{j} = 0 sauf pour un nombre fini d’indices.

(iv) Si 𝕜 est un corps commutatif, E ⊗_{ℤ} 𝕜 est un 𝕜-espace vectoriel. En effet, pour tout λ ∈ 𝕜, l’application f_{λ} : E × 𝕜 ⟶ E ⊗_{ℤ} 𝕜 définie par (x, μ) ↦ x ⊗ λμ est ℤ-bilinéaire donc définit une application ℤ-linéaire g_{λ} : E ⊗_{ℤ} 𝕜 ⟶ E ⊗_{ℤ} 𝕜 telle que g_{λ}(x⊗μ) = x⊗λμ. Si l’on pose λz = g_{λ}(z) pour z ∈ E ⊗_{ℤ} 𝕜, λ ∈ 𝕜, on vérifie facilement que E ⊗_{ℤ} 𝕜 est un 𝕜-espace vectoriel.

Pour toute application ℤ-linéaire f de E dans un 𝕜-espace vectoriel V, il existe une application 𝕜-linéaire unique g du 𝕜-espace vectoriel E ⊗_{ℤ} 𝕜 dans V telle que g(x ⊗ 1) = f(x) ∀x ∈ E. En effet, l’application (x, λ) ⟼ λf(x) est ℤ-bilinéaire donc définit une application ℤ-linéaire g : E ⊗_{ℤ} 𝕜 ⟶ V. Il est immédiat que g est 𝕜-linéaire et est l’unique application répondant à la question.

L’application f ⟼ g est un ℤ-isomorphisme du ℤ-module Hom_{ℤ}(E, V) des application ℤ-linéaires de E dans V sur le ℤ-module Hom_{𝕜} (E ⊗_{ℤ} 𝕜, V) des application 𝕜-linéaires de E ⊗_{ℤ} 𝕜 dans V.

Notons enfin que pour que l’application canonique x ⟼ x ⊗ 1 de E dans E ⊗_{ℤ} 𝕜 soit injective il suffit que E soit un ℤ-module libre.

1.8.3 homologie à coefficients dans E

Pour tout ℤ-module E, on pose

S_{p}(X, E) = S_{p}(X) ⊗_{ℤ} E

Tout élément de S_{p}(X, E) s’écrit de façon unique ∑_{j} g_{j} ⊗ σ_{j} avec g_{j} ∈ E (g_{j} = 0 sauf pour un nombre fini d’indices) et σ_{j} ∈ Σ_{p}(X) (Σ_{p}(X) étant l’ensemble des p-simplexes singuliers de X).

En particulier,

S_{p}(X, ℝ) = {∑_{j} g_{j} ⊗ σ_{j}; g_{j} ∈ ℝ; σ_{j} ∈ Σ_{p}(X)}

S_{p}(X, ℤ) ≅ S_{p}(X)

L’opérateur bord ∂ possède un prolongement naturel à S_{p}(X, E) et permet de définir H_{p}(X, E).

Nous identifierons S_{p}(X, ℤ) et S_{p}(X), donc H_{p}(X, ℤ) = H_{p}(X).

1.8.4 Théorème des coefficients universel pour l’homologie

Théorème 10 Pour tout ℤ-module E, on a:

H_{p}(X, E) = (H_{p}(X) ⊗_{ℤ} E) ⊕ Tor (H_{p−1}(X), E) ∀p ⩾ 0

où Tor (H_{p−1}(X), E) est un ℤ-module qui est nul si E ou H_{p−1}(X) est sans torsion (on pose H_{−1}(X) = {0}).

1.8.5 Invariance de l’homologie par extension du corps de base

Corollaire 4 Pour tout corps commutatif 𝕜, on a:

dim_{𝕜} H_{p}(X, 𝕜) = b_{p}(X) ∀p ⩾ 0

Démonstration.

Par définition, b_{p}(X) = rg H_{p}(X). Si dim_{𝕜} H_{p}(X, 𝕜) ou b_{p}(X) est infini, les deux sont infinis. Supposons donc b_{p}(X) < +∞. Alors

H_{p}(X) ≅ ℤ^{r} ⊕ ℤ_{m_{1}} ⊕ ℤ_{m_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{ℓ}}

où r = b_{p}(X) et (m_{1}, …, m_{ℓ}) est la suite des facteurs de torsion de H_{p}(X). Comme un corps est sans torsion, on a

H_{p}(X, 𝕜) = H_{p}(X) ⊗_{ℤ} 𝕜
≅ (ℤ^{r} ⊕ ℤ_{m_{1}} ⊕ ℤ_{m_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{ℓ}}) ⊗_{ℤ} 𝕜
≅ (ℤ^{r} ⊗_{ℤ} 𝕜) ⊕ (ℤ_{m_{1}} ⊗_{ℤ} 𝕜) ⊕ … ⊕ (ℤ_{m_{ℓ}} ⊗_{ℤ} 𝕜)

Or ℤ^{r} ⊗_{ℤ} 𝕜 est un 𝕜-espace vectoriel isomorphe à 𝕜^{r} et pour tout m, ℤ_{m} ⊗_{ℤ} 𝕜 = \{0\} puisque pour toute classe [x]_{m} modulo m on a: [x]_{m} ⊗ 1 = m[x]_{m} ⊗ \frac{1}{m} = 0 ⊗ \frac{1}{m} = 0. Ainsi: dim_{𝕜} H_{p}(X, 𝕜) = r = b_{p}(X).

1.9 Homologie des CW-complexes et des polyèdres

1.9.1 CW-complexes finis

On appelle CW-complexe fini (”C” est pour ”closure finite” et ”W” pour ”weak topology”, des conditions redondantes ici car le complexe est fini) la donnée d’un espace compact X et d’une suite finie de compacts

X_{0} ⊂ X_{1} ⊂ X_{2} ⊂ … ⊂ X_{n} = X

telle que X_{0} est fini et pour tout 1 ⩽ p ⩽ n, X_{p} se déduit de X_{p−1} par adjonction d’un nombre fini k_{p} ⩾ 0 de p-cellules. Cela signifie que X_{p}\X_{p−1} = ⋃_{λ=1}^{k_{p}} c_{λ}^{p} où, pour chaque λ, c_{λ}^{p} est homéomorphe à la boule unité ouverte B_{p} de ℝ^{p} et il existe une application continue f_{λ}^{p} de la boule fermée \overline{B_{p}} dans l’adhérence \overline{c_{λ}^{p}} telle que f_{λ}^{p}(𝕊^{p−1}) ⊂ X_{p−1} et que f_{λ}^{p} soit un homéomorphisme de B_{p} sur c_{λ}^{p}. Les c_{λ}^{p} sont les p-cellules de la structure de CW-complexe de X. Le plus petit n tel que X_{n} = X et X_{n−1} ≠ X_{n} est la dimension du CW-complexe.

1.9.2 Exemples

1. Pour tout n la sphère 𝕊^{n} est un CW-complexe fini ayant seulement une 0-cellule (le pôle Nord N) et une n-cellule (𝕊^{n} \ {N}).

2. Soit P un polyèdre convexe de ℝ^{3} et X sa surface. Par définition, P est l’intersection d’un nombre fini ≥ 4 de demi-plans non parallèles; les faces, arêtes et sommets de X sont bien définis, et les faces sont des surfaces polygonales planes convexes. X est un CW-complexe fini dont les 0-cellules sont les sommets, les 1-cellules les arêtes et les 2-cellules les faces.

1.9.3 homologie d’un CW-complexe

Pour un CW-complexe fini de dimension n

X_{0} ⊂ X_{1} ⊂ X_{2} ⊂ … ⊂ X_{n} = X

soit C_{p}(X, ℤ) (0 ⩽ p ⩽ n) le ℤ-module libre ayant pour base l’ensemble des p-cellules. Il existe un opérateur bord ∂_{p} : C_{p}(X, ℤ) ⟶ C_{p−1}(X, ℤ) (p ⩾ 1) tel que ∂_{p−1} ∘ ∂_{p} = 0 ∀p ⩾ 1 (Pour p = 0, on pose ∂_{0} = 0). On introduit alors les groupes d’homologies du CW-complexe par

H_{p}(C_{∗}(X, ℤ)) = Ker ∂_{p} /Im ∂_{p+1}

On pose H_{p}(C_{∗}(X, ℤ)) = {0} pour p > n.

Théorème 11 H_{p}(C_{∗}(X, ℤ)) est un ℤ-module finiment engendré; il est isomorphe à H_{p}(X).

Lorsque X possède une structure de CW-complexe fini, le calcul de son homologie est donc ramené au calcul de l’homologie du complexe de base finie C_{∗}(X, ℤ).

1.9.4 caractéristique d’Euler-Poincaré d’un CW-complexe

Théorème 12 La caractéristique d’Euler-Poincaré d’un espace compact X possèdant une structure de CW-complexe fini de dimension n est

χ(X) = ∑_{p=0}^{n}(−1)^{p} α_{p}

où α_{p} est le nombre de p-cellules.

Démonstration.

On a b_{p}(X) = dim_{ℝ} H_{p}(X, ℝ). Or d’après le Théorème des coefficients universels (qui est aussi vrai pour l’homologie des CW-complexes),

H_{p}(C_{∗}(X, ℤ) ⊗_{ℤ} ℝ) = H_{p}(C_{∗}(X, ℤ)) ⊗_{ℤ} ℝ ≅ H_{p}(X) ⊗_{ℤ} ℝ = H_{p}(X, ℝ)

ou encore

H_{p}(C_{∗}(X, ℝ)) ≅ H_{p}(X, ℝ)

où C_{p}(X, ℝ) (0 ⩽ p ⩽ n) est le ℝ-espace vectoriel ayant pour base l’ensemble des p-cellules. Si Z_{p} et B_{p} désignent respectivement le noyau de ∂_{p} : C_{p}(X, ℝ) ⟶ C_{p−1}(X, ℝ) (pour p = 0, Z_{0} = C_{0}(X, ℝ)) et l’image de de ∂_{p+1} : C_{p+1}(X, ℝ) ⟶ C_{p}(X, ℝ), on a b_{p}(X) = dim Z_{p} − dim B_{p} d’où par le théorème du rang b_{p}(X) = dim Z_{p} + dim Z_{p+1} − dim C_{p+1}(X, ℝ). Alors

χ(X) = ∑_{p=0}^{n} (−1)^{p} b_{p}(X) = ∑_{p=0}^{n} (−1)^{p} dim C_{p}(X, ℝ) = ∑_{p=0}^{n}(−1)^{p} α_{p}

.

1.9.5 cas des polyèdres

Soit X la surface d’un polyèdre convexe de ℝ^{3}. X est homéomorphe à 𝕊^{2}, donc χ(X) = χ(𝕊^{2}) = 2. Si S est le nombre de sommets, A le nombre d’arêtes et F le nombre de faces de X, on a donc d’après le résultat précédent S − A + F = 2. C’est la relation d’Euler qui exprime donc que la caractéristique d’Euler-Poincaré de X est 2.

Pour les polyèdres non-convexes, la caractéristique d’Euler-Poincaré de X sera encore 2 si le polyèdre est simple, i.e. X est homéomorphe à 𝕊^{2}, et la relation d’Euler sera encore vraie si de plus les notion de faces, arêtes, sommets correspondent à une structure de CW-complexe sur X, ce qui n’est pas toujours le cas ([?]).

2 Cohomologie

2.1 groupes de cohomologie

Soit X un espace topologique et considérons le complexe de chaînes singulier de X

{0} ⟵^{∂} S_{0} ⟵^{∂} S_{1} ⟵^{∂} S_{2} ⟵^{∂} … ⟵^{∂} S_{p} ⟵^{∂} S_{p+1} …

où S_{p} = S_{p}(X) et l’on a omis les indices sur les ∂. Par dualité et transposition, on obtient pour tout ℤ-module E un complexe de cochaînes singulier de X comme suit.

Soit E un ℤ-module, S^{p} = Hom_{ℤ}(S_{p}, E) le ℤ-module des ℤ-homomor-phismes de S_{p} dans E (i.e. homomorphismes de groupes), et d_{p} = ^{t}∂_{p+1} : S^{p} ⟶ S^{p+1} (On omet souvent aussi l’indice sur le d). Si ⟨ , ⟩ désigne le crochet de dualité E-valué entre S_{p} et S^{p}

⟨z, f⟩ = f(z) ∀z ∈ S_{p}, ∀f ∈ S^{p},

on a donc par définition

⟨z, df⟩ = ⟨∂z, f⟩ ∀z ∈ S_{p+1}, ∀f ∈ S^{p}.

La suite

S^{0} ⟶^{d} S^{1} ⟶^{d} S^{2} ⟶^{d} … ⟶^{d} S^{p} ⟶^{d} S^{p+1} ⟶^{d} …

est le complexe de cochaînes singulier de X à coefficients dans E. On pose Z^{p}(X, E) = Ker d_{p} p ≥ 0 et B^{p}(X, E) = Im d_{p−1} p ≥ 1, B^{0}(X, E) = {0}. Les éléments de Z^{p}(X, E) sont appelés p-cocycles et ceux de B^{p}(X, E) p-cobords. Le ℤ-module quotient

H^{p}(X, E) = Z^{p}(X, E) /B^{p}(X, E)

est le p-ième groupe de cohomologie singulière de X à coefficients dans E. Si f et g sont deux p-cocycles cohomologues, on notera f ≡ g; la classe de cohomologie de f est notée [f].

2.2

Lemme 5 Pour tout p ≥ 0, on a (i) Z^{p}(X, E) = (B_{p}(X))^{⊥} (ii) B^{p}(X, E) = (Z_{p}(X))^{⊥}.

Démonstration.

(i) Pour p ⩾ 0 et f ∈ S^{p}, on a: f ∈ Z^{p}(X, E) ⇔ df = 0 ⇔ ⟨z, df⟩ = 0 ∀z ∈ S_{p+1} ⇔ ⟨∂z, f⟩ = 0 ∀z ∈ S_{p+1} ⇔ f ∈ (B_{p}(X))^{⊥}.

(ii) Pour p = 0, B^{0}(X, E) = {0} et Z_{0}(X) = S_{0}, donc B^{0}(X, E) = (Z_{0}(X))^{⊥}. Supposons p ⩾ 1. On a B^{p}(X, E) ⊂ (Z_{p}(X))^{⊥} puisque f ∈

B^{p}(X, E) ⇒ ∃g ∈ S^{p−1} f = dg ⇒ ⟨z, f⟩ = ⟨z, dg⟩ = ⟨\underbrace{∂z}_{=0}, g⟩ = 0 ∀z ∈

Z_{p}(X) ⇒ f ∈ (Z_{p}(X))^{⊥}.

Réciproquement, (Z_{p}(X))^{⊥} ⊂ B^{p}(X, E). En effet, soit f ∈ (Z_{p}(X))^{⊥}. On définit g ∈ Hom_{ℤ}(B_{p−1}(X), E) par

⟨∂z, g⟩ = ⟨z, f⟩ ∀z ∈ S_{p}(X)

(⟨z, f⟩ ne dépend que de ∂z et non du z utilisé puisque f ∈ (Z_{p}(X))^{⊥}). Comme S_{p−1} est un ℤ-module libre, g se prolonge à S_{p−1} et alors f = dg.

2.3

Le lemme précédent implique que le dualité entre S_{p} et S^{p} passe aux quotients et définit une forme bilinéaire sur H_{p}(X) × H^{p}(X, E) à valeurs dans E:

⟨[z], [f]⟩ = ⟨z, f⟩ ∀z ∈ Z_{p}(X) ∀f ∈ Z^{p}(X, E).

D’où un homomorphisme (application ℤ-linéaire)

α : H^{p}(X, E) ⟶ Hom_{ℤ}(H_{p}(X), E)

défini par

[f] ⟼ α([f]) = ⟨ · , [f]⟩.

L’homomorphisme α n’est pas toujours un isomorphisme: il est toujours surjectif, mais pas toujours injectif. Pour qu’il le soit, il suffit que E soit un ℤ-module divisible, i.e. ∀y ∈ E ∀n ∈ ℤ \ {0} ∃x ∈ E y = nx.

En fait, on a un Théorème des coefficients universel pour la cohomologie:

Théorème 13 Pour tout ℤ-module E, on a:

H^{p}(X, E) = Hom_{ℤ} (H_{p}(X), E) ⊕ Ext (H_{p−1}(X), E)

où Ext (H_{p−1}(X), E) est un ℤ-module qui est nul si E est divisible ou si H_{p−1}(X) est libre.

Les tableaux suivants sont des exemples pour comparer Ext(A, B) et Tor(A, B) dans le cas où A, B sont ℤ ou ℤ_{m}.

\begin{matrix}Ext & ℤ & ℤ_{n} \\ ℤ & 0 & 0 \\ ℤ_{m} & ℤ_{m} & ℤ_{pgcd(m,n)} \end{matrix}  \begin{matrix}Tor & ℤ & ℤ_{n} \\ ℤ & 0 & 0 \\ ℤ_{m} & 0 & ℤ_{pgcd(m,n)} \end{matrix}

2.4 Exemples

2.4.1

Si H_{p}(X) et H_{p−1}(X) sont finiment engendrés,

H_{p}(X) ≅ ℤ^{r} ⊕ ℤ_{m_{1}} ⊕ ℤ_{m_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{m_{ℓ}}
H_{p−1}(X) ≅ ℤ^{s} ⊕ ℤ_{n_{1}} ⊕ ℤ_{n_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{n_{k}}.

Comme Hom_{ℤ}(ℤ_{m}, ℤ) = {0} et que Ext(A ⊕ C, B) = Ext(A, B) ⊕ Ext(C, B), on a:

Hom_{ℤ} (H_{p}(X), ℤ) ≅ ℤ^{r}
Ext (H_{p−1}(X), ℤ) ≅ ℤ_{n_{1}} ⊕ ℤ_{n_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{n_{k}}.

D’où :

H^{p}(X, ℤ) ≅ \underbrace{ℤ^{r}}_{partie libre de H_{p}(X)} ⊕ \underbrace{ℤ_{n_{1}} ⊕ ℤ_{n_{2}} ⊕ … ⊕ ℤ_{n_{k}}}_{partie de torsion de H_{p−1}(X)}

Donc H^{p}(X, ℤ) et H_{p}(X) ont le même rang r.

2.4.2

Si 𝕜 est un corps commutatif, l’application

α : H^{p}(X, 𝕜) ⟶ Hom_{ℤ}(H_{p}(X), 𝕜)

est un isomorphisme de ℤ-modules. Mais le ℤ-module Hom_{ℤ}(H_{p}(X), 𝕜) est canoniquement isomorphe au ℤ-module Hom_{𝕜} (H_{p}(X) ⊗_{ℤ} 𝕜, 𝕜) i.e. au dual du 𝕜-espace vectoriel H_{p}(X, 𝕜). Ainsi H^{p}(X, 𝕜) est un 𝕜-espace vectoriel isomorphe au dual du 𝕜-espace vectoriel H_{p}(X, 𝕜).

2.4.3

Pour X = 𝕊^{n}, on a H_{p}(𝕊^{n}) = {0} si p ≠ 0, n et H_{0}(𝕊^{n}) ≅ H_{n}(𝕊^{n}) ≅ ℤ. Donc

H^{p}(𝕊^{n}, ℤ) ≅ Hom_{ℤ} (H_{p}(𝕊^{n}), ℤ) ≅ \begin{cases}ℤ & si p = 0 ou p = n \\ \{0\} & si 0 < p < n ou p > n \end{cases}

i.e. la cohomologie est égale à l’homologie.

2.4.4

Pour X = ℝP^{2}, espace projectif réel de dimension 2, on a:

H_{0}(X) = ℤ, H_{1}(X) ≅ ℤ_{2}, H_{p}(X) = {0} ∀p ≥ 2.

Donc

H^{0}(X, ℤ) ≅ ℤ, H^{1}(X, ℤ) = {0}, H^{2}(X, ℤ) = ℤ_{2} ≅ H̸_{2}(X).

Ce genre de difficulté disparaît avec les coefficients dans un corps, par ex. ℝ.

3 Cohomologie de De Rahm de variétés différentiables

Soit M une variété différentiable réelle de classe C^{∞}, de dimension finie n. Le corps de base est ℝ.

3.1 champs de vecteurs

On appelle vecteur tangent au point x_{0} = γ(t_{0}) à la courbe (différentiable) t ⟼ γ(t) de M l’opérateur X_{x_{0}} sur l’algèbre F_{x_{0}} des fonctions définies au voisinage de x_{0} et de classe C^{∞} défini par

X_{x_{0}}(f) = [\frac{d}{dt}f(γ(t))]_{t=t_{0}} ∀f ∈ F_{x_{0}}.

On note X_{x_{0}} = γ̇(t_{0}). Cet opérateur est une dérivation de l’algèbre F_{x_{0}}, i.e. il est linéaire et X_{x_{0}}(fg) = X_{x_{0}}(f)g(x_{0}) + f(x_{0})X_{x_{0}}(g) ∀f, g ∈ F_{x_{0}}. Réciproquement, une dérivation est de la forme γ̇(t_{0}) pour une courbe γ.

L’ensemble des vecteurs tangents au point x_{0} est donc l’espace vectoriel des dérivations de l’algèbre F_{x_{0}} ; on le note T_{x_{0}}(M).

Dans une carte locale (u^{1}, …, u^{n}) de M, on a

X_{x_{0}}(f) = ∑_{j=1}^{n} (\frac{∂f}{∂u^{j}} )_{x_{0}} (\frac{d(u^{j} ∘ γ)}{dt})_{t_{0}}

Les opérateurs (\frac{∂}{∂u^{j}} )_{x_{0}} (1 ⩽ j ⩽ n) forment une base de T_{x_{0}}(M) appelée base canonique.

On appelle champ de vecteurs sur M une application X : x ⟼ X_{x} ∈ T_{x}(M). Dans le domaine d’une carte de M, on a X_{x} = ∑_{j=1}^{n} ξ^{j}(x) (\frac{∂}{∂u^{j}} )_{x}. On dit que le champ de vecteurs est de classe C^{∞} sur M si les fonctions ξ^{j} sont de classe C^{∞} pour toute carte de M.

L’ensemble des champs de vecteurs C^{∞} est l’ensemble des dérivations de l’algèbre C^{∞}(M) des fonctions de classe C^{∞} sur M: si l’on note X(f) la fonction x ⟼ X_{x}(f), on a:

X(fg) = X(f)g + fX(g) ∀f, g ∈ C^{∞}(M).

Le crochet de deux champs de vecteurs X, Y est le champ de vecteurs défini par

[X, Y] (f) = X(Y (f)) − Y (X(f))

On vérifie facilement que cette formule définit bien une dérivation de C^{∞}(M).

On notera 𝔇^{1}(M) l’espace vectoriel des champs de vecteurs de classe C^{∞} sur M. L’application (X, Y) ⟼ [X, Y] munit 𝔇^{1}(M) d’une structure d’algèbre de Lie: elle est bilinéaire, antisymétrique et vérifie l’identité de Jacobi:

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 ∀X, Y, Z ∈ 𝔇^{1}(M).

3.2 champs de p-formes

On appelle champ de 1-formes sur M une application

ω : x ⟼ ω_{x} ∈ T_{x}^{∗}(M) (dual de l’espace vectoriel T_{x}(M)).

Dans le domaine d’une carte de M, on a ω_{x} = ∑_{j=1}^{n} η_{j}(x) ω_{x}^{j}, où les ω_{x}^{j} = (du^{j})_{x} sont les éléments de la base de T_{x}^{∗}(M) duale des (\frac{∂}{∂u^{j}} )_{x}, i.e. ⟨\frac{∂}{∂u^{j}} , du^{ℓ}⟩ = δ_{j,ℓ} (symbole de Kronecker) en omettant les indices x et en désignant par ⟨ , ⟩ le crochet de dualité entre T_{x}(M) et T_{x}^{∗}(M). On dit que le champ de 1-formes est de classe C^{∞} sur M si les fonctions η_{j} sont de classe C^{∞} pour toute carte de M.

On appelle champ de p-formes sur M une application

ω : x ⟼ ω_{x} ∈ ⋀^{p} T_{x}^{∗}(M)

où ⋀^{p} T_{x}^{∗}(M) est l’espace vectoriel des formes multilinéaires alternées sur

\underbrace{T_{x}(M) × … × T_{x}(M)}_{p fois}.

Dans le domaine d’une carte de M, on a

ω_{x} = ∑_{1⩽i_{1}<...<i_{p}⩽n} η_{i_{1},... ,i_{p}}(x) ω_{x}^{i_{1}} ∧ … ∧ ω_{x}^{i_{p}}

où les ω_{x}^{i_{1}} ∧ … ∧ ω_{x}^{i_{p}} sont les produits extérieurs des 1-formes de base (voir section suivante). On dit que le champ de p-formes est de classe C^{∞} sur M si les fonctions η_{i_{1},... ,i_{p}} sont de classe C^{∞} pour toute carte de M.

On notera 𝔇_{p}(M) l’espace vectoriel des champs de p-formes de classe C^{∞} sur M.

3.3 produit extérieur

Le corps de base est ici ℝ, mais les résultats sont les mêmes pour tout corps commutatif de caractéristique ≠ 2 (pour la notion de forme alternée).

3.3.1

Théorème 14 Soit E un espace vectoriel. Pour tout p ⩾ 2 il existe un espace vectoriel unique à isomorphisme près noté ⋀^{p} E tel que:

1. Il existe une application p-linéaire alternée π : \underbrace{E × … × E}_{p fois} ⟶ ⋀^{p} E

dont l’image engendre ⋀^{p} E .

2. Pour tout espace vectoriel F et toute application p-linéaire alternée f : \underbrace{E × … × E}_{p fois} ⟶ F , il existe une unique application linéaire g : ⋀^{p} E ⟶ F

rendant commutatif le diagramme

\underbrace{E × … × E}_{p fois} ⟶^{f} F
π↓  g
⋀^{p} E

On note pour x_{1}, …, x_{p} ∈ E : π(x_{1}, …, x_{p}) = x_{1} ∧ … ∧ x_{p}.

Pour p = 0, on pose ⋀^{0} E = ℝ, et pour p = 1, ⋀^{1} E = E.

3.3.2 propriétés essentielles du produit extérieur

(i) si (e_{i})_{1⩽i⩽n} est une base de E, (e_{i_{1}} ∧ … ∧ e_{i_{p}})_{1⩽i_{1}<...<i_{p}⩽n} est une base de ⋀^{p} E. Donc dim ⋀^{p} E = C_{n}^{p} (coefficient binômial) pour 0 ⩽ p ⩽ n et ⋀^{p} E = {0} si p > n.

(ii) Il existe une application bilinéaire h : (⋀^{p} E) × (⋀^{q} E) ⟶ ⋀^{p+q} E unique telle que pour tous x_{1}, …, x_{p}, y_{1}, …, y_{q} ∈ E

h(x_{1} ∧ … ∧ x_{p}, y_{1} ∧ … ∧ y_{q}) = x_{1} ∧ … ∧ x_{p} ∧ y_{1} ∧ … ∧ y_{q}.

On note h(z, w) = z ∧ w pour z ∈ ⋀^{p} E, w ∈ ⋀^{q} E.

On a:

z ∧ w = (−1)^{pq} w ∧ z ∀z ∈ ⋀^{p} E ∀w ∈ ⋀^{q} E.

(iii) La dualité entre E et son dual E^{∗} induit une dualité entre ⋀^{p} E et ⋀^{p} E^{∗} telle que pour tous x_{1}, …, x_{p} ∈ E, ω^{1}, …, ω^{p} ∈ E^{∗}

⟨x_{1} ∧ … ∧ x_{p}, ω^{1} ∧ … ∧ ω^{p}⟩ = det (⟨x_{i}, ω^{j}⟩).

Nous identifierons par cette dualité ⋀^{p} E^{∗} à (⋀^{p} E)^{∗}, ce dernier étant identifié à l’espace vectoriel des formes p-linéaires alternées sur E.

3.4 différentielle

Soit Φ : M ⟶ M un C^{∞}-difféomorphisme de M. Sa différentielle Φ_{∗_{x}} au point x ∈ M est l’endomorphisme de T_{x}(M) qui associe à tout X_{x} ∈ T_{x}(M) le vecteur tangent Φ_{∗_{x}}(X_{x}) ∈ T_{Φ(x)}(M) défini par:

Φ_{∗_{x}}(X_{x})(f) = X_{x}(f ∘ Φ) ∀f ∈ F_{Φ(x)}.

On définit Φ_{∗}(X) ∈ 𝔇^{1}(M) pour X ∈ 𝔇^{1}(M) par (Φ_{∗}(X))_{Φ(x)} = Φ_{∗_{x}}(X_{x}) ∀x ∈ M. On a

Φ_{∗}(X)(f) ∘ Φ = X(f ∘ Φ) ∀f ∈ C^{∞}(M).

Noter que [Φ_{∗}(X), Φ_{∗}(Y)] = Φ_{∗}([X, Y)] ∀X, Y ∈ 𝔇^{1}(M) car pour tout f ∈ C^{∞}(M), Φ_{∗}(X) (Φ_{∗}(Y)(f)) ∘ Φ = X (Φ_{∗}(Y)(f) ∘ Φ) = X (Y (f ∘ Φ)) .

On définit de même Φ_{x}^{∗} = ^{t}Φ_{∗_{x}} : T_{Φ(x)}^{∗}(M) ⟶ T_{x}^{∗}(M) par

⟨X_{x}, Φ_{x}^{∗} (ω_{Φ(x)})⟩ = ⟨Φ_{∗_{x}} (X_{x}) , ω_{Φ(x)}⟩ ∀X_{x} ∈ T_{x}(M), ∀ω_{Φ(x)} ∈ T_{Φ(x)}^{∗}(M).

Cela permet de définir Φ^{∗} (ω) ∈ 𝔇_{1}(M) pour ω ∈ 𝔇_{1}(M) par (Φ^{∗} (ω))_{x} = Φ_{x}^{∗} (ω_{Φ(x)}) et l’on a:

⟨X, Φ^{∗} (ω)⟩ = ⟨Φ_{∗} (X) , ω⟩ ∘ Φ ∀X ∈ 𝔇^{1}(M), ∀ω ∈ 𝔇_{1}(M).

Si ω_{Φ(x)} ∈ ⋀^{p} T_{Φ(x)}^{∗}(M), on définit Φ_{x}^{∗}(ω_{Φ(x)}) ∈ ⋀^{p} T_{x}^{∗}(M) par

Φ_{x}^{∗} (ω_{Φ(x)}) ((X_{1})_{x}, …, (X_{p})_{x}) = (ω_{Φ(x)}) (Φ_{∗_{x}} ((X_{1})_{x}) , …, Φ_{∗_{x}} ((X_{p})_{x}))

pour tous (X_{1})_{x}, …, (X_{p})_{x} ∈ T_{x}(M). Cela permet encore de définir Φ^{∗} (ω) pour ω ∈ 𝔇_{p}(M) et l’on a:

Φ^{∗} (ω) (X_{1}, …, X_{p}) = (ω (Φ_{∗}(X_{1}), …, Φ_{∗}(X_{p}))) ∘ Φ

pour tous X_{1}, …, X_{p} ∈ 𝔇^{1}(M) ∀ω ∈ 𝔇_{p}(M).

Si Ψ : M ⟶ N est une application de classe C^{∞} de M dans une variété N, la différentielle Ψ_{∗_{x}} : T_{x}(M) ⟶ T_{Ψ(x)}(N) est définie de façon analogue. Cela permet encore de définir Ψ^{∗} (ω) ∈ 𝔇_{p}(M) pour ω ∈ 𝔇_{p}(N). Noter cependant que si Ψ n’est pas un C^{∞}-difféomorphisme, le champ de vecteurs Ψ_{∗}(X) n’est pas défini.

3.5 cohomologie de De Rahm

3.5.1

Soit 𝔇(M) = ⨁_{p=0}^{n} 𝔇_{p}(M), où 𝔇_{0}(M) = C^{∞}(M). Le produit extérieur d’une p-forme et d’une q-forme est défini point par point: (ω ∧ π)_{x} = ω_{x} ∧ π_{x}.

𝔇(M) muni du produit extérieur est une algèbre graduée anticommutative.

3.5.2

Il existe une unique antidérivation d appelée différentielle extérieure de 𝔇(M) qui prolonge la différentielle des fonctions sur 𝔇_{0}(M), i.e.

d(ω ∧ π) = (dω) ∧ π + (−1)^{p}ω ∧ dπ ∀ω ∈ 𝔇_{p}(M), ∀π ∈ 𝔇(M).

On a d^{2} = 0, d’où un complexe de cochaînes:

𝔇_{0}(M) ⟶^{d} 𝔇_{1}(M) ⟶^{d} 𝔇_{2}(M) ⟶^{d} … ⟶^{d} 𝔇_{p}(M) ⟶^{d} 𝔇_{p+1}(M) ⟶^{d} …

… ⟶^{d} 𝔇_{n}(M) ⟶^{d} {0}.

C’est le complexe de De Rahm. On en déduit la cohomologie de De Rahm: si d_{p} est la restriction de d à 𝔇_{p}(M), on pose Z_{DR}^{p}(M) = Ker d_{p} p ≥ 0 et B_{DR}^{p}(M) = Im d_{p−1} p ≥ 1, B_{DR}^{0}(M) = {0} . Les éléments de Z_{DR}^{p}(M) sont appelés p-cocycles et ceux de B_{DR}^{p}(M) p-cobords. L’espace vectoriel quotient

H_{DR}^{p}(M) = Z_{DR}^{p}(M) /B_{DR}^{p}(M)

est le p-ième groupe de cohomologie de De Rahm. H_{DR}^{p}(M) = {0} pour p > n.

3.5.3

Pour ω ∈ 𝔇_{p}(M), X_{1}, …, X_{p+1} ∈ 𝔇^{1}(M),

dω(X_{1}, …, X_{p+1}) = ∑_{i=1}^{p+1}(−1)^{i−1} X_{i} (ω(X_{1}, …, X̂_{i}, …, X_{p+1}))

+ ∑_{1⩽i<j⩽p+1}(−1)^{i+j} ω ([X_{i}, X_{j}], X_{1}, …, X̂_{i}, …, X̂_{j}, …, X_{p+1}) .

4 Cohomologie de l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie

4.1 champs invariants à gauche

Soit G un groupe de Lie, i.e. un groupe muni d’une structure de variété de classe C^{∞}, réelle de dimension finie, telle que la multiplication de G et le passage à l’inverse dans G soient des applications de classe C^{∞}.

Pour a ∈ G, on note L_{a} et R_{a} les translations à gauche et à droite par a dans G: L_{a}(x) = ax, R_{a}(x) = xa ∀x ∈ G. Un champ de vecteurs X ∈ 𝔇^{1}(G) est dit invariant à gauche si (L_{a})_{∗}(X) = X ∀a ∈ G. Cela s’écrit (L_{a})_{∗_{x}}(X_{x}) = X_{ax} ∀a, x ∈ G, ou encore (L_{a})_{∗_{e}}(X_{e}) = X_{a} ∀a ∈ G, en notant e l’élément neutre de G. Une p-forme ω ∈ 𝔇^{p}(G) est dite invariante à gauche si (L_{a})^{∗}(ω) = ω ∀a ∈ G. Cela s’écrit (L_{a})_{x}^{∗}(ω_{ax}) = ω_{x} ∀a, x ∈ G, ou encore (L_{a^{−1}})_{a}^{∗}(ω_{e}) = ω_{a} ∀a ∈ G. Les p-formes invariantes à gauche sur G forment un sous-espace vectoriel 𝔇_{p}^{L}(G) de 𝔇_{p}(G).

Les champs de vecteurs invariants à gauche forment une sous-algèbre de Lie 𝔇_{L}^{1}(G) de 𝔇^{1}(G). On a en effet pour tous X, Y ∈ 𝔇_{L}^{1}(G), a ∈ G:

(L_{a})_{∗} ([X, Y]) = [(L_{a})_{∗} (X), (L_{a})_{∗} (Y)] = [X, Y]

4.2 algèbre de Lie

Soit 𝔤 = T_{e}(G). Pour alléger les notations, dorénavant un élément de 𝔤 sera noté X au lieu de X_{e}. Pour X ∈ 𝔤, il existe un unique champ de vecteur invariant à gauche X̃ telle que (X̃)_{e} = X: il est défini par X̃_{x} = (L_{x})_{∗_{e}} (X).

On pose pour X, Y ∈ 𝔤: [X, Y] = [X̃, Ỹ ]_{e}, de sorte que

[X̃, Ỹ ] = { \atop [X, Y]} ∀X, Y ∈ 𝔤.

Le crochet [ , ] munit 𝔤 d’une structure d’algèbre de Lie, isomorphe à l’algèbre de Lie 𝔇_{L}^{1}(G) par l’application X ⟼ X̃. On dit que 𝔤 est l’algèbre de Lie du groupe de Lie G.

4.3 application exponentielle

4.3.1

On appelle sous-groupe à un paramètre du groupe de Lie G un homorphisme continu de ℝ dans G, i.e. une application continue t ↦ a(t) telle que a(t + s) = a(t)a(s) ∀t, s ∈ ℝ. Un tel homomorphisme est nécessairement de classe C^{∞} (Théorème de Cartan). Un point fondamental est le suivant: pour tout X dans l’algèbre de Lie 𝔤 de G, il existe un sous-groupe à un paramètre unique a_{X} tel que ȧ_{X}(0) = X. X est appelé le générateur du sous-groupe à un paramètre a_{X}.

4.3.2

L’application exponentielle de 𝔤 dans G est définie par exp X = a_{X}(1). On a alors a_{X}(t) = exp tX ∀t ∈ ℝ, ∀X ∈ 𝔤. En effet, pour tout t ∈ ℝ, l’application s ↦ b(s) = a_{X}(ts) est un sous-groupe à un paramètre, dont le générateur est ḃ(0) = tȧ(0) = tX, donc b(s) = a_{tX}(s) ∀s ∈ ℝ, et en prenant s = 1, b(1) = a_{X}(t) = a_{tX}(1) = exp tX ∀t ∈ ℝ.

4.3.3

Si G est le groupe GL(n, ℝ) des matrices inversibles n × n à coefficients réels, l’algèbre de Lie de G est l’algèbre 𝔤 = gl(n, ℝ) des matrices n × n à coefficients réels avec le crochet [A, B] = AB − BA. L’application exponentielle de 𝔤 dans G est l’exponentielle habituelle d’une matrice: exp X = e^{X} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{X^{k}}{k!} . En effet, si X ∈ gl(n, ℝ), \frac{a_{X}(t+s)−a_{X}(t)}{s} = \frac{a_{X}(s)−Id}{s}a_{X}(t) donc la fonction matricielle a_{X} est une solution de l’équation différentielle \frac{d}{dt}Y = XY telle que a_{X}(0) = Id. Mais on sait que l’application t ↦ e^{tX} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}X^{k}}{k!} est une solution de cette équation différentielle vérifiant la même condition initiale. Donc a_{tX} = e^{tX} ∀t ∈ ℝ.

4.4 une formule fondamentale

Pour tout ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗}, il existe une unique p-forme ω̃ invariante à gauche sur G telle ω̃_{e} = ω. Noter que pour tous X_{1}, …, X_{p} ∈ 𝔤, ω̃(X̃_{1}, …, X̃_{p}) est la fonction constante sur G égale à ω(X_{1}, …, X_{p}).

Lemme 6 On a dω̃ = d̃ω, où d : ⋀^{p} 𝔤^{∗} ⟶ ⋀^{p+1} 𝔤^{∗} est défini par

dω(X_{1}, …, X_{p+1}) = ∑_{1⩽i<j⩽p+1}(−1)^{i+j} ω ([X_{i}, X_{j}], X_{1}, …, X̂_{i}, …, X̂_{j}, …, X_{p+1})

pour X_{1}, …, X_{p+1} ∈ 𝔤.

Démonstration.

Il suffit de vérifier la formule sur des champs de vecteurs invariants à gauche. Pour tous X_{1}, …, X_{p+1} ∈ 𝔤,

dω̃(X̃_{1}, …, { \atop X_{p+1}}) = ∑_{i=1}^{p+1}(−1)^{i−1} X̃_{i} (ω̃(X̃_{1}, …, ˆ X̃_{i}, …, { \atop X_{p+1}}))

+ ∑_{1⩽i<j⩽p+1}(−1)^{i+j} ω̃ ([X̃_{i}, X̃_{j}], X̃_{1}, …, ˆ X̃_{i}, …, ˆ X̃_{j}, …, { \atop X_{p+1}}) .

Mais

X̃_{i} (ω̃(X̃_{1}, …, ˆ X̃_{i}, …, { \atop X_{p+1}})) = 0

puisque ω̃(X̃_{1}, …, ˆ X̃_{i}, …, { \atop X_{p+1}}) est une fonction constante sur G, et d’autre part

ω̃ ([X̃_{i}, X̃_{j}], X̃_{1}, …, ˆ X̃_{i}, …, ˆ X̃_{j}, …, { \atop X_{p+1}}) =

ω ([X_{i}, X_{j}], X_{1}, …, X̂_{i}, …, X̂_{j}, …, X_{p+1}) .

4.5 cohomologie de l’algèbre de Lie

Si d_{p} est la restriction de d à ⋀^{p} 𝔤^{∗} avec d_{0} = 0, on a d_{p} ∘ d_{p−1} = 0 ∀p ⩾ 1, d’où un complexe de cochaînes:

C^{0}(𝔤, ℝ) = ℝ = ⋀^{0} 𝔤^{∗} ⟶^{d_{0}=0} C^{1}(𝔤, ℝ) = 𝔤^{∗} = ⋀^{1} 𝔤^{∗} ⟶^{d_{1}} C^{2}(𝔤, ℝ) = ⋀^{2} 𝔤^{∗} ⟶^{d_{2}} …

… ⟶^{d_{p−1}} C^{p}(𝔤, ℝ) = ⋀^{p} 𝔤^{∗} ⟶^{d_{p}} … ⟶^{d_{n−1}} C^{n}(𝔤, ℝ) = ⋀^{n} 𝔤^{∗} ≅ ℝ ⟶^{d_{n}=0} {0}

où n = dim 𝔤.

On en déduit la cohomologie d’algèbre de Lie de 𝔤: on pose Z^{p}(𝔤, ℝ) = Ker d_{p} p ≥ 0 et B^{p}(𝔤, ℝ) = Im d_{p−1} p ≥ 1, B^{0}(𝔤, ℝ) = {0} . Les éléments de Z^{p}(𝔤, ℝ) sont appelés p-cocycles et ceux de B^{p}(𝔤, ℝ) p-cobords. L’espace vectoriel quotient

H^{p}(𝔤, ℝ) = Z^{p}(𝔤, ℝ) /B^{p}(𝔤, ℝ)

est le p-ième groupe de cohomologie à coefficients réels de 𝔤. H^{p}(𝔤, ℝ) = {0} pour p > n. On notera aussi H^{p}(𝔤, ℝ) = H_{ℝ}^{p}(𝔤), Z^{p}(𝔤, ℝ) = Z_{ℝ}^{p}(𝔤), B^{p}(𝔤, ℝ) = B_{ℝ}^{p}(𝔤).

4.6 exemple

H_{ℝ}^{1}(𝔤) = Z_{ℝ}^{1}(𝔤) = {ω ∈ 𝔤^{∗} ; ω([X, Y]) = 0 ∀X, Y ∈ 𝔤} est le sous-espace de 𝔤^{∗} des formes linéaires qui s’annulent sur [𝔤, 𝔤] (sous-espace vectoriel engendré par les [X, Y], X, Y ∈ 𝔤) , donc est isomorphe à (𝔤 /[𝔤, 𝔤])^{∗}.

5 Théorème de De Rahm

5.1 cohomologie C^{∞}

5.1.1

Pour M variété C^{∞}, on a défini l’homologie et la cohomologie singulières. On peut aussi définir l’homologie et la cohomologie singulières de classe

C^{∞} en utilisant des p-simplexes singuliers σ de classe C^{∞}, i.e. σ : Δ_{p} ⟶ M est la restriction à Δ_{p} d’une application σ′ : U ⟶ M de classe C^{∞} dans un voisinage ouvert U de Δ_{p}.

L’homologie (resp. la cohomologie) singulière de classe C^{∞} est isomorphe à l’homologie (resp. la cohomologie) singulière: pour tout ℤ-module E,

H_{p}(M, E) ≅ H_{p}^{C^{∞}}(M, E)
H^{p}(M, E) ≅ H_{C^{∞}}^{p}(M, E)

5.1.2

Si σ : Δ_{p} ⟶ M est un p-simplexe singulier de classe C^{∞} et si ω ∈ 𝔇_{p}(M), on a (σ′)^{∗} (ω) ∈ 𝔇_{p}(U) avec U comme ci-dessus. L’intégrale ∫_{Δ_{p}}(σ′)^{∗}(ω) est bien définie et ne dépend pas du prolongement σ′ utilisé. On la note ∫_{σ} ω. Si z ∈ S_{p}^{C^{∞}}(M, ℝ) est une p-chaîne de classe C^{∞}, on définit ∫_{z} ω par linéarité.

5.2 Théorème de De Rahm

Théorème 15 Si M est à base dénombrable d’ouverts (e.g. M connexe),

H_{DR}^{p}(M) ≅ H_{C^{∞}}^{p}(M, ℝ) ≅ H^{p}(M, ℝ).

On peut expliciter ici l’isomorphisme de De Rahm

Ψ : H_{DR}^{p}(M) ⟶ H^{p}(M, ℝ).

Posons pour ω ∈ 𝔇_{p}(M), z ∈ S_{p}^{C^{∞}}(M, ℝ): ⟨⟨z, ω⟩⟩ = ∫_{z} ω. D’après la formule de Stokes, on a:

⟨⟨∂ζ, ω⟩⟩ = ∫_{∂ζ} ω = ∫_{ζ} dω ∀ω ∈ 𝔇_{p}(M), ∀ζ ∈ S_{p+1}^{C^{∞}}(M, ℝ)

donc

Z_{DR}^{p}(M) ⊂ (B_{p}^{C^{∞}}(M, ℝ))^{⊥}
Z_{p}^{C^{∞}}(M, ℝ) ⊂ (B_{DR}^{p}(M))^{⊥} .

Ainsi, la forme ℝ-bilinéaire ⟨⟨ , ⟩⟩ sur Z_{p}^{C^{∞}}(M, ℝ) × Z_{DR}^{p}(M) passe aux quotients et définit une forme bilinéaire sur H_{C^{∞}}^{p}(M, ℝ) × H_{DR}^{p}(M) par

⟨⟨[z], [ω]⟩⟩ = ⟨⟨z, ω⟩⟩.

D’où une application

Ψ : H_{DR}^{p}(M) ⟶ (H_{p}^{C^{∞}}(M, ℝ))^{∗} ≅ (H_{p}(M, ℝ))^{∗} .

Mais on a vu que H^{p}(M, ℝ) est un ℝ-espace vectoriel isomorphe au dual du ℝ-espace vectoriel H_{p}(M, ℝ). Si l’on identifie (H_{p}(M, ℝ))^{∗} à H^{p}(M, ℝ), Ψ est l’isomorphisme de De Rahm.

6 Dualité de Poincaré et application au cas compact

6.1 dualité de Poincaré

6.1.1 orientabilité

Soit M un variété de dimension n, ϕ = (u^{1}, …, u^{n}), ψ = (v^{1}, …, v^{n}) des cartes de M de domaines respectifs U, V, et f une fonction de classe C^{∞} sur M à support compact K inclus dans U ∩ V.

Si J = \frac{D(u^{1},... ,u^{n})}{D(v^{1},... ,v^{n})} est le jacobien, on a en identifiant un point x de U ∩ V à son image par ϕ ou ψ:

f du^{1} ∧ … ∧ du^{n} = f J dv^{1} ∧ … ∧ dv^{n}.

D’autre part, la formule de changement de variable dans les intégrales s’écrit

∫_{ϕ(K)} f(ϕ^{−1}(u^{1}, …, u^{n})) du^{1} … du^{n} = ∫_{ψ(K)} f(ψ^{−1}(v^{1}, …, v^{n})) |J| dv^{1} … dv^{n}.

Cette formule fait intervenir la valeur absolue du jacobien. Donc pour que l’on puisse définir l’intégrale de la n-forme ω = f du^{1}∧…∧du^{n} par la formule

∫_{M} ω = ∫_{ϕ(K)} f(ϕ^{−1}(u^{1}, …, u^{n})) du^{1} … du^{n}

il suffit que le jacobien soit positif pour tout changement de carte, i.e. l’atlas de la variété M est tel que le jacobien soit positif pour tout changement de carte. Lorsqu’il existe un tel atlas de M, on dit que M est orientable.

Nous noterons (𝔇_{p}(M))_{c} l’espace de p-formes à support compact sur M. Si on suppose M orientable, on peut donc définir l’intégrale ∫_{M} ω pour

toute ω ∈ (𝔇_{n}(M))_{c} en utilisant une partition de l’unité subordonnée à un recouvrement fini du support de ω par des domaines de cartes.

Il est facile de voir que ∫_{M} dπ = 0 ∀π ∈ (𝔇_{n−1}(M))_{c} .

6.1.2 cohomologie de De Rham à support compact

On a un complexe de cochaînes à supports compacts:

(𝔇_{0}(M))_{c} ⟶^{d} (𝔇_{1}(M))_{c} ⟶^{d} (𝔇_{2}(M))_{c} ⟶^{d} …

… ⟶^{d} (𝔇_{p}(M))_{c} ⟶^{d} (𝔇_{p+1}(M))_{c} ⟶^{d} … ⟶^{d} (𝔇_{n}(M))_{c} ⟶^{d} {0},

d’où l’on déduit la cohomologie de De Rahm à support compact H_{DR,c}^{p}(M).

6.1.3 dualité de Poincaré

On suppose M orientable de dimension n, à base dénombrable d’ouverts. Pour ω ∈ 𝔇_{p}(M), π ∈ (𝔇_{n−p}(M))_{c}, soit

⟨ω, π⟩ = ∫_{M} ω ∧ π.

⟨ , ⟩ est une forme ℝ-bilinéaire 𝔇_{p}(M) × (𝔇_{n−p}(M))_{c} ⟶ ℝ.

Pour α ∈ 𝔇_{p−1}(M), β ∈ (𝔇_{n−p}(M))_{c}, on a dα ∧ β + (−1)^{p−1}α ∧ dβ = d(α ∧ β) et comme ∫_{M} d(α ∧ β) = 0, il vient β ∈ Z_{DR,c}^{n−p}(M) ⟹ ⟨dα, β⟩ = 0 donc B_{DR}^{p}(M) ⊂ (Z_{DR,c}^{n−p}(M))^{⊥}.

De même, pour α ∈ 𝔇_{p}(M), β ∈ (𝔇_{n−p−1}(M))_{c}, on a dα ∧ β + (−1)^{p}α ∧ dβ = d(α∧β) et comme ∫_{M} d(α∧β) = 0, il vient α ∈ Z_{DR}^{p}(M) ⟹ ⟨α, dβ⟩ = 0 donc B_{DR,c}^{n−p}(M) ⊂ (Z_{DR}^{p}(M))^{⊥}.

Ainsi ⟨ , ⟩ passe aux quotients et définit une forme bilinéaire H_{DR}^{p}(M) × H_{DR,c}^{n−p}(M) ⟶ ℝ par la formule

⟨[ω], [π]⟩ = ⟨ω, π⟩ ∀ω ∈ Z_{DR}^{p}(M), ∀π ∈ Z_{DR,c}^{n−p}(M).

D’où une application Θ : H_{DR}^{p}(M) ⟶ (H_{DR,c}^{n−p}(M))^{∗} .

Théorème 16 L’application Θ est un isomorphisme.

6.2 application au cas M compact

6.2.1

Théorème 17 Soit M une variété compacte. Alors dim H_{DR}^{p}(M) < +∞ ∀p.

Démonstration.

Si M est la réunion de deux ouverts U et V, la suite exacte de Mayer-Viétoris de l’homologie singulière à coefficients réels donne par transposition la suite exacte

… ⟶ H_{DR}^{p−1}(U ∩ V) ⟶^{δ^{p}} H_{DR}^{p}(M) ⟶^{h^{∗,p}} H_{DR}^{p}(U) ⊕ H_{DR}^{p}(V) ⟶ …

donc (isomorphisme de l’image de h^{∗,p} avec tout supplémentaire du noyau)

H_{DR}^{p}(M) ≅ Im h^{∗,p} ⊕ Im δ^{p}.

Si H_{DR}^{p−1}(U ∩ V), H_{DR}^{p}(U) et H_{DR}^{p}(V) sont de dimension finies, il en est de même de H_{DR}^{p}(M).

Or M peut être recouvert par un nombre fini d’ouverts homéomorphes à ℝ^{n} et H_{DR}^{p}(ℝ^{n}) est nul sauf pour p = 0 , H_{DR}^{0}(ℝ^{n}) = ℝ. Le théorème s’en déduit par une récurrence simple sur le nombre d’ouverts du recouvrement de M.

6.2.2

Supposons M compacte, à base dénombrable d’ouverts.

La dualité de Poincaré donne un isomorphisme

H_{DR}^{p}(M) ≅ (H_{DR,c}^{n−p}(M))^{∗} = (H_{DR}^{n−p}(M))^{∗}

donc

b_{p}(M) = b_{n−p}(M).

En particulier si n = dim M est impair, la caractéristique d’Euler-Poincaré de M est nulle: χ(M) = 0.

7 Cohomologie de De Rham invariante à gauche d’un groupe de Lie

7.1 cohomologie invariante à gauche

Soit G un groupe de Lie et 𝔤 son algèbre de Lie. Pour p ⩾ 0, la différentielle extérieure d : 𝔇_{p}(G) ⟶ 𝔇_{p+1}(M) envoie 𝔇_{p}^{L}(G) dans 𝔇_{p+1}^{L}(G) puisque dω̃ = d̃ω ∀ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗}. Soit Z_{L}^{p}(G) = Z_{DR}^{p}(G) ∩ 𝔇_{p}^{L} , B_{L}^{p}(G) = d (𝔇_{p−1}^{L}(G)), B_{L}^{0}(G) = {0}. L’espace vectoriel quotient

H_{L}^{p}(G) = Z_{L}^{p}(G) /B_{L}^{p}(G)

est le p-ième groupe de cohomologie de De Rham invariante à gauche de G. L’application ω ⟼ ω̃ induit un isomorphisme

H_{ℝ}^{p}(𝔤) ⟶ H_{L}^{p}(G).

7.2 application canonique de H_{L}^{p}(G) dans H_{DR}^{p}(G)

On appelle application canonique de H_{L}^{p}(G) dans H_{DR}^{p}(G) l’application qui associe à la classe de ω̃ modulo B_{L}^{p}(G) (ω ∈ Z_{ℝ}^{p}(𝔤)) la classe de ω̃ modulo B^{p}(G).

En général, cette application n’est ni injective, ni surjective.

7.3 Exemple de SL(2, ℝ)

7.3.1

Soit G = SL(2, ℝ) le groupe des matrices 2 × 2 à coefficients réels, de déterminant 1:

G = \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ; a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = 1\} .

En tant que variété différentiable, G est difféomorphe à (ℝ /2πℤ) × ℝ × ℝ. En effet, tout g ∈ G peut s’écrire sous la forme

g = (\begin{matrix}cos θ & −sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix}e^{t} & 0 \\ 0 & e^{−t} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & s \\ 0 & 1 \end{matrix})

avec θ ∈ ℝ unique modulo 2π et t, s ∈ ℝ uniques. C’est la décomposition d’Iwasawa. En particulier, G est connexe , mais non simplement connexe.

L’algèbre de Lie 𝔤 de G est l’algèbre de lie sℓ(2, ℝ) des matrices 2 × 2 à coefficients réels, de trace nulle:

𝔤 = {A ∈ M_{2}(ℝ) , e^{tA} ∈ G ∀t ∈ ℝ} = sℓ(2, ℝ)

et [A, B] = AB − BA ∀A, B ∈ 𝔤.

Les trois matrices

H = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , X = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , Y = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

forment une base de 𝔤 avec les relations de commutation

[H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y, [X, Y] = H.

7.3.2 calcul de l’homologie de G

Pour calculer l’homologie de G, on utilise la suite de Mayer-Viétoris. En effet, G = U ∪ V avec

U = \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d = \frac{1+bc}{a} \end{matrix}) ; a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0\}

V = \{(\begin{matrix}a & b \\ c = \frac{ad−1}{b} & d \end{matrix}) ; a, b, d ∈ ℝ, b ≠ 0\} .

U est homéomorphe au sous-ensemble \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3}, x ≠ 0\} de ℝ^{3} par l’appli-

cation ϕ : (\begin{matrix}a & b \\ c & d = \frac{1+bc}{a} \end{matrix}) ⟼ ( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ), et V est homéomorphe à \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3}, y ≠ 0\}

par l’application ψ : (\begin{matrix}a & b \\ c = \frac{ad−1}{b} & d \end{matrix}) ⟼ ( \begin{matrix}a \\ b \\ d \end{matrix} ).

La restriction de ϕ à U ∩ V est un homéomorphisme de U ∩ V sur

\{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3}, x ≠ 0, y ≠ 0\}

En particulier, U ∩ V a 4 composantes connexes, et U et V en ont chacun 2. Considérons les éléments suivants de G:

g_{1} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , g_{2} = (\begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , g_{3} = (\begin{matrix}−1 & −1 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , g_{4} = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Ce sont 4 représentants des 4 composantes connexes distinctes de U ∩V. Donc H_{0}(U ∩ V) a pour base ([g_{1}]_{U∩V} , [g_{2}]_{U∩V} , [g_{3}]_{U∩V} , [g_{4}]_{U∩V}) . g_{1}, g_{2} ne sont pas dans la même composante de U mais sont dans la même composante de V et de même pour g_{3}, g_{4}. g_{1}, g_{4} ne sont pas dans la même composante de V mais sont dans la même composante de U et de même pour g_{2}, g_{3}. Donc H_{0}(U) ⊕ H_{0}(V) a pour base ([g_{1}]_{U}, [g_{2}]_{U}, [g_{3}]_{V} , [g_{4}]_{V}) .

Comme dim G = 3, H_{p}(G, ℝ) = H_{DR}^{p}(G) = {0} ∀p ⩾ 4.

La suite de Mayer-Viétoris donne pour p ⩾ 2 une suite exacte courte

\overbrace{H_{p}(U) ⊕ H_{p}(V)}^{=\{0\}} ⟶^{h_{∗,p}} H_{p}(G) ⟶^{δ_{p}} H_{p−1}(U ∩ V) ⟶^{g_{∗,p−1}} \overbrace{H_{p−1}(U) ⊕ H_{p−1}(V)}^{=\{0\}}

où δ_{p} est le morphisme de connexion. Donc

H_{p}(G) ≅ H_{p−1}(U ∩ V) = {0} ∀p ⩾ 2.

Pour p = 1 , on a la suite exacte

\overbrace{H_{1}(U) ⊕ H_{1}(V)}^{=\{0\}} ⟶^{h_{∗,1}} H_{1}(G) ⟶^{δ_{1}} H_{0}(U ∩ V) ⟶^{g_{∗,0}} H_{0}(U) ⊕ H_{0}(V) ⟶^{h_{∗,0}} H_{0}(G).

Comme G est connexe par arcs, H_{0}(G) ≅ ℝ.

On a :

g_{∗,0} (∑_{i=1}^{4} u^{i}[g_{i}]_{U∩V} ) = (∑_{i=1}^{4} u^{i}[g_{i}]_{U} , − ∑_{i=1}^{4} u^{i}[g_{i}]_{V} ) =

((u^{1} + u^{4})[g_{1}]_{U} + (u^{2} + u^{3})[g_{2}]_{U} , (u^{1} + u^{2})[g_{1}]_{V} + (u^{3} + u^{4})[g_{3}]_{V} ) .

Donc Ker g_{∗,0} = ℝ ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) .

Comme δ_{1} est injective (Ker δ_{1} = {0}) et que Im δ_{1} = Ker g_{∗,0}, on a H_{1}(G) ≅ ℝ.

7.3.3

On a:

\begin{matrix}H_{DR}^{0}(G) ≅ ℝ & H_{DR}^{1}(G) ≅ ℝ & H_{DR}^{2}(G) = \{0\} & H_{DR}^{3}(G) = \{0\} \\ H_{ℝ}^{0}(𝔤) ≅ ℝ & H_{ℝ}^{1}(𝔤) = \{0\} & H_{ℝ}^{2}(𝔤) = \{0\} & H_{ℝ}^{3}(𝔤) ≅ ℝ \end{matrix}

Dans le tableau ci-dessus, on a H_{ℝ}^{1}(𝔤) = {0} parce que 𝔤 = [𝔤, 𝔤]; H_{ℝ}^{2}(𝔤) = {0} est un cas particulier du lemme de Whitehead; H_{ℝ}^{3}(𝔤) ≅ ℝ car la forme de Killing de 𝔤, à savoir la forme bilinéaire (X, Y) ⟼ Tr(XY) sur 𝔤 × 𝔤, donne le 3-cocycle φ ∈ ⋀^{3} 𝔤^{∗}: φ(X, Y, Z) = Tr([XY]Z) ∀X, Y, Z ∈ 𝔤. φ n’est pas un cobord, donc H_{ℝ}^{3}(𝔤) n’est pas réduit à {0} et est alors égal à ℝ puisque de dimension au plus 1.

L’application canonique Φ de H_{L}^{p}(G) ≅ H_{ℝ}^{p}(𝔤) dans H_{DR}^{p}(G) n’est pas injective pour p = 3 et pas surjective pour p = 1.

7.4 Autre exemple : GL^{+}(n, ℝ)

7.4.1

Soit G = GL^{+}(n, ℝ) le groupe des matrices n × n, à coefficients réels, de déterminant > 0. Toute A ∈ G admet une décomposition polaire unique A = V H , avec V ∈ O(n, ℝ) matrice orthogonale réelle et H = \sqrt{A^{∗}A} symétrique définie positive. En fait, comme det A > 0, on a V ∈ SO(n, ℝ).

Or l’exponentielle est une bijection de l’espace vectoriel S des matrices symétriques réelles sur le cône convexe S^{+} des matrices symétriques réelles définies positives:

exp : S ⟶ S^{+}.

Donc on a A = V e^{h} pour un h ∈ S, d’où une bijection

G ⟶ SO(n, ℝ) × S

définie par A = V e^{h} ⟼ (V, h). Cette bijection est un C^{∞}-difféomorphisme. Cela implique que K = SO(n, ℝ) est un déformation-rétract de G: si i est l’injection de K dans G et r l’application de G dans K définie par r(A) = V pour A = V e^{h}, on a r ∘ i = Id_{K} et i ∘ r ∼ Id_{G}. (l’application F : (t, A) ↦ F (t, A) = V e^{th} est une homotopie de i ∘ r sur Id_{G}, puisque F (0, A) = V = r(A) et F (1, A) = V e^{h} = A ∀A ∈ G, donc F (0, · ) = i∘r et F (1, · ) = Id_{G}.)

7.4.2

Comme K est un déformation-rétract de G, on a pour tout p:

H_{DR}^{p}(G) ≅ H_{DR}^{p}(K).

En particulier, comme dim G = n^{2} > dim K,

H_{DR}^{n^{2}}(G) ≅ H_{DR}^{n^{2}}(K) = {0}.

Mais l’algèbre de Lie de G est l’algèbre de Lie 𝔤 = gℓ(n, ℝ) de matrices n × n à coefficients réels munie du crochet habituel, et l’on a:

H_{ℝ}^{n^{2}}(𝔤) ≅ ℝ.

L’application canonique Φ de H_{L}^{n^{2}}(G) ≅ H_{ℝ}^{n^{2}}(𝔤) dans H_{DR}^{n^{2}}(G) n’est pas injective.

7.4.3

Une situation analogue se produit pour tout groupe de Lie non compact G car il existe un sous-groupe compact qui est un déformation-rétract de G.

7.5

La question se pose donc de façon naturelle:

Question: Pour quels groupes de Lie l’application canonique de H_{L}^{p}(G) dans H_{DR}^{p}(G) est-elle bijective pour tout p , i.e. H_{ℝ}^{p}(𝔤) ≅ H_{DR}^{p}(G) ∀p?

Réponse: Pour les groupes de Lie compacts connexes

7.6

La cohomologie de De Rham n’est pas bien adaptée aux groupes noncompacts, puisqu’on a vu qu’elle se ramène au cas compact. La bonne notion est la cohomologie de l’algèbre de Lie 𝔤 de G.

8 Cohomologie de De Rham bi-invariante d’un groupe de Lie

Une autre notion qu’on peut introduire est la cohomologie de De Rham bi-invariante.

8.1 formes bi-invariantes

Une forme différentielle ω sur G est dite bi-invariante si elle est invariante à gauche et à droite: (L_{a})^{∗}(ω) = ω, (R_{a})^{∗}(ω) = ω ∀a ∈ G.

8.2 G-modules et 𝔤-modules

G étant un groupe de Lie, on appelle G-module un espace vectoriel E muni d’une action continue de G, i.e. une application continue (x, v) ↦ x · v de G × E dans E telle que x · (y · v) = (x · y) · v ∀x, y ∈ G, ∀v ∈ E et e · v = v ∀v ∈ E (e élément neutre de G). Si 𝔤 est une algèbre de Lie, on appelle 𝔤-module un espace vectoriel E muni d’une action de 𝔤 , i.e. une application (X, v) ↦ X · v de 𝔤 × E dans E telle que [X, Y] · v = X · (Y · v) − Y · (X · v) ∀X, Y ∈ 𝔤, ∀v ∈ E.

8.3 exemple: action adjointe d’un groupe de Lie

L’algèbre de Lie 𝔤 d’un groupe de Lie G est un G-module pour l’action adjointe de G définie par:

x · X = Ad_{G}(x)(X) = (Int(x))_{∗_{e}} (X) ∀x ∈ G, ∀X ∈ 𝔤

où Int(x) est l’automorphisme intérieur défini par x:

Int(x)(y) = xyx^{−1} ∀y ∈ G.

On a donc par définition

x (exp X) x^{−1} = exp (Ad_{G}(x)(X)) = exp (x · X) ∀X ∈ 𝔤 , ∀x ∈ G.

Le dual 𝔤^{∗} de 𝔤 est un G-module pour l’action contragrédiente de l’action adjointe, appelée action coadjointe de G, définie par:

⟨Y , x · ω⟩ = ⟨x^{−1} · Y , ω⟩ ∀x ∈ G, ∀ω ∈ 𝔤^{∗} ∀Y ∈ 𝔤.

De même, ⋀^{p} 𝔤^{∗} est un G-module pour l’action coadjointe:

(x · ω)(X_{1}, …, X_{p}) = ω(x^{−1} · X_{1}, …, x^{−1} · X_{p})

∀x ∈ G, ∀ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗} ∀X_{1}, …, X_{p} ∈ 𝔤.

8.4 exemple: action adjointe d’une algèbre de Lie

Si 𝔤 est une algèbre de Lie, elle est elle-même un 𝔤-module pour l’action adjointe définie par

X · Y = ad(X)(Y) = [X, Y] ∀X, Y ∈ 𝔤.

De même, ⋀^{p} 𝔤^{∗} est un 𝔤-module pour l’action coadjointe définie par :

(X · ω)(X_{1}, …, X_{p}) = − ∑_{i=1}^{p} ω(X_{1}, …, [X, X_{i}], …, X_{p})

∀ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗} ∀X, X_{1}, …, X_{p} ∈ 𝔤.

8.5 lien entre action adjointe de G et action adjointe de 𝔤

Soit G un groupe de Lie et 𝔤 son algèbre de Lie. Pour X, Y ∈ 𝔤, l’application t ↦ (exp tX) · Y de ℝ dans l’espace vectoriel 𝔤 est dérivable et sa dérivée en 0 est [X, Y].

Il en résulte que l’application t ↦ (exp tX) · ω de ℝ dans ⋀^{p} 𝔤^{∗} est dérivable et sa dérivée en 0 est:

[\frac{d}{dt} (exp tX) · ω]_{t=0} = X · ω.

En effet:

[\frac{d}{dt} (exp tX) · ω]_{t=0} (X_{1}, …, X_{p}) = [\frac{d}{dt} ((exp tX) · ω) (X_{1}, …, X_{p})]_{t=0}

= [\frac{d}{dt}ω((exp − tX) · X_{1}, …, (exp − tX) · X_{p})]_{t=0}

= − ∑_{i=1}^{p} ω(X_{1}, …, [X, X_{i}], …, X_{p}) = (X · ω) (X_{1}, …, X_{p}).

Ainsi l’action coadjointe de 𝔤 est la dérivée de l’action coadjointe de G.

8.6 complexe des formes bi-invariantes

8.6.1

Théorème 18 Une forme bi-invariante est fermée, i.e. de différentielle nulle. Plus précisément, pour toute ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗}, si la forme ω̃ est invariante à droite on a dω̃ = 0, i.e. ω̃ ∈ Z_{DR}^{p}(G). De plus, si G est connexe, on a en notant (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{G} = {ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗} ; a · ω = ω ∀a ∈ G} et (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{𝔤} = {ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗} ; X · ω = 0 ∀X ∈ 𝔤} :

ω̃ invariante à droite ⟺ ω ∈ (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{G} = (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{𝔤} .

Enfin,

(⋀^{p} 𝔤^{∗})^{𝔤} ⊂ Z_{ℝ}^{p}(𝔤).

Démonstration.

On a

ω̃ invariante à droite ⟺ ω̃ = (R_{a})^{∗}(ω̃) ∀a ∈ G ⟺ ω = ω̃_{e} = (R_{a})_{e}^{∗}(ω̃_{a}) = (R_{a})_{e}^{∗} ((L_{a^{−1}})_{a}^{∗}(ω̃_{e})) = ((R_{a})_{e}^{∗} ∘ (L_{a^{−1}})_{a}^{∗}) (ω̃_{e}) =

t((L_{a^{−1}})_{∗_{a}} ∘ (R_{a})_{∗_{e}})(ω̃_{e}) = (Int(a^{−1}))_{e}^{∗} (ω) = a · ω ∀a ∈ G

⟺ ω ∈ (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{G}

Par différentiation, on a d’autre part: (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{G} ⊂ (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{𝔤} et l’égalité résulte de la connexité de G. D’autre part, (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{𝔤} ⊂ Z_{ℝ}^{p}(𝔤) résulte de la formule

2dω(X_{1}, …, X_{p+1}) = − ∑_{i=1}^{p+1}(−1)^{i} (X_{i} · ω) (X_{1}, …, X̂_{i}, …, X_{p+1})

pour ω ∈ ⋀^{p} 𝔤^{∗}, X_{1}, …, X_{p+1} ∈ 𝔤.

8.6.2

On a donc un complexe des formes différentielles bi-invariantes, avec une différentielle nulle: d = 0:

𝔇_{0}^{bi-inv}(G) ⟶^{d=0} 𝔇_{1}^{bi-inv}(G) ⟶^{d=0} … ⟶^{d=0} 𝔇_{p}^{bi-inv}(G) ⟶^{d=0} 𝔇_{p+1}^{bi-inv}(G) ⟶^{d=0} …

… ⟶^{d=0} 𝔇_{n}^{bi-inv}(G) ⟶^{d=0} {0} (n = dim G)

avec pour tout p,

𝔇_{p}^{bi-inv}(G) ≅ (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{G} .

Comme la différentielle est nulle, ce complexe est sa propre cohomologie. On l’appelle cohomologie bi-invariante de G.

8.7 comparaison entre cohomologie bi-invariante et cohomologie de l’algèbre de Lie

Si G est un groupe de Lie connexe, on a le diagramme commutatif suivant d’applications canoniques.

𝔇_{p}^{bi-inv}(G) ⟶ H_{L}^{p}(G) ⟶ H_{DR}^{p}(G)
↓≅  ≅↓
(⋀^{p} 𝔤^{∗})^{𝔤} ⟶ H_{ℝ}^{p}(𝔤)

Si G est compact toutes les applications de ce diagramme sont des isomorphismes. Cependant, les applications canoniques 𝔇_{p}^{bi-inv}(G) ⟶ H_{L}^{p}(G) et (⋀^{p} 𝔤^{∗})^{𝔤} ⟶ H_{ℝ}^{p}(𝔤) sont encore des isomorphismes dans un cas plus général que le cas compact, à savoir le cas réductif : c’est le cas où l’algèbre de Lie 𝔤 de G est réductive, ce qui signifie par définition que l’action adjointe de 𝔤 est semi-simple, i.e. diagonalisable sur ℂ. Comme exemple de groupe réductif, citons GL(n, ℝ).

9 Exemples de polynômes de Poincaré d’algèbres de Lie

Le polynôme de Poincaré d’une algèbre de Lie 𝔤 de dimension n est défini par P_{𝔤}(t) = ∑_{p=0}^{n} dim H_{ℝ}^{p}(𝔤) t^{p} ∈ ℤ[t].

9.1 𝔤 = gl(n, ℝ)

P_{gl(n,ℝ)}(t) = ∏_{p=1}^{n} (1 + t^{2p−1}) .

9.2 𝔤 = sl(n, ℝ)

P_{sl(n,ℝ)}(t) = ∏_{p=2}^{n} (1 + t^{2p−1}) .

9.3 cas d’un groupe connexe compact

Si G est compact connexe d’algèbre de Lie 𝔤,

P_{G}(t) = P_{𝔤}(t) = (1 + t^{2m_{1}+1}) … (1 + t^{2m_{ℓ}+1}).

avec m_{1}, … m_{ℓ} ∈ ℕ. En particulier, P_{G}(−1) = 0, i.e. la caractéristique d’Euler-Poincaré χ(G) d’un groupe de Lie compact connexe est nulle.

Cela montre que la sphère 𝕊^{n} ne peut pas être munie d’une structure de groupe de Lie si n est pair puisque dans ce cas la caractéristique d’Euler-Poincaré vaut 2.

10 cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes

10.1 Définitions et notations

La cohomologie étant invariante par extension du corps de base, on se place dans toute la suite sur le corps ℂ.

10.1.1 rang et poids pour une algèbre de Lie nilpotente

Soit 𝔤 une algèbre de Lie. La série centrale descendante C^{p}𝔤 de 𝔤 est définie par récurrence par C^{1}𝔤 = 𝔤, C^{2}𝔤 = [𝔤, 𝔤], …, C^{p+1}𝔤 = [𝔤, C^{p}𝔤], . . .. où [𝔤, C^{p}𝔤] est le sous-espace vectoriel engendré par {[X, Y] ; X ∈ 𝔤, Y ∈ C^{p}𝔤}.

𝔤 est dite nilpotente s’il existe p ⩾ 1 tel que C^{p}𝔤 = {0}.

Une dérivation de l’algèbre de Lie 𝔤 est un endomorphisme δ de 𝔤 tel que δ([X, Y]) = [δ(X), Y] + [X, δ(Y)] ∀X, Y ∈ 𝔤. L’ensemble des dérivations de 𝔤 forme une sous-algèbre de Lie Der(𝔤) de l’algèbre de Lie des endomorphismes de 𝔤 munie du crochet habituel [A, B] = A ∘ B − B ∘ A.

On appelle tore d’une algèbre de Lie 𝔤 de dimension finie une sous-algèbre de Lie commutative de Der(𝔤) formée de dérivations diagonalisables. Si T est un tore de 𝔤, les éléments de T sont simultanément diagonalisables donc il existe une base (x_{1}, ..., x_{n}) de 𝔤 formée de vecteurs propres pour T, i.e. t(x_{i}) = α_{i}(t)x_{i} ∀t ∈ T où α_{i} appartient au dual T^{∗} de T. Les α_{i} sont les poids de 𝔤 par rapport à T.

Tous les tores maximaux de 𝔤 ont la même dimension, appelée rang (torique) de 𝔤.

10.1.2 cohomologie triviale et adjointe

Soit E un 𝔤-module et C^{p}(𝔤, E) = (⋀^{p}𝔤^{∗}) ⊗_{ℂ} E l’espace vectoriel des p-cochaines à valeurs dans E (p ⩾ 0), i.e. l’espace vectoriel des applications p-linéaires alternées f : \underbrace{𝔤 × … × 𝔤}_{p fois} ⟶ E. L’opérateur cobord d :

C^{p−1}(𝔤, E) ⟶ C^{p}(𝔤, E) (p ⩾ 1) est défini par

df(X_{1}, ..., X_{p}) = ∑_{i=1}^{p}(−1)^{i−1}X_{i} · f(X_{1}, ..., X̂_{i}, ..., X_{p})

+ ∑_{1⩽i<j⩽p}(−1)^{i+j}f([X_{i}, X_{j}], ..., X̂_{i}, ..., X̂_{j}, ..., X_{p})

pour tous X_{1}, .., X_{p} ∈ 𝔤, et on introduit:

Z_{E}^{p}(𝔤) = {f ∈ C^{p}(𝔤, E); df = 0}
B_{E}^{p}(𝔤) = d(C^{p−1}(𝔤, E))
H_{E}^{p}(𝔤) = Z_{E}^{p}(𝔤) /B_{E}^{p}(𝔤)

Si E = ℂ, 𝔤-module trivial avec l’action nulle, on retrouve la cohomologie H_{ℂ}^{p}(𝔤) définie comme dans le cas de ℝ. On l’appelle la cohomologie triviale de 𝔤.

Si E = 𝔤 avec l’action adjointe de 𝔤, on obtient la cohomologie adjointe de 𝔤.

H_{𝔤}^{0}(𝔤) = Z_{𝔤}^{0}(𝔤) est le centre {X ∈ 𝔤 ; [X, Y] = 0 ∀Y ∈ 𝔤} de 𝔤; Z_{𝔤}^{1}(𝔤)= Der 𝔤; H_{𝔤}^{1}(𝔤)= Der 𝔤 /ad 𝔤 , où ad 𝔤 = {ad X ; X ∈ 𝔤}.

10.1.3 action du tore maximal sur la cohomologie triviale

Soit T un tore maximal de 𝔤. C^{p}(𝔤, ℂ) = ⋀^{p} 𝔤^{∗} est un T -module pour l’action (t, ω) ↦ t · ω avec

(t · ω) (X_{1}, …, X_{p}) = − ∑_{i=1}^{p} ω (X_{1}, …, t(X_{i}), …, X_{p})

pour t ∈ T, ω ∈ C^{p}(𝔤, ℂ), X_{1}, …, X_{p} ∈ 𝔤. Cette action commute avec l’opérateur cobord d et définit une structure de T -module sur H_{ℂ}^{p}(𝔤).

10.1.4 poids sur la cohomologie

Soit {x_{1}, ...x_{n}} une base de 𝔤 formée de vecteurs propres pour T: t(x_{i}) = α_{i}(t)x_{i} ∀t ∈ T où les α_{i} sont les poids de 𝔤 par rapport à T. Soit (ω^{i})_{1⩽i⩽n} la base de 𝔤^{∗} duale de la base (x_{i})_{1⩽i⩽n}. Il est immédiat que t(ω^{i}) = −α_{i}(t)ω^{i} ∀t ∈ T, i.e. ω^{i} est un vecteur propre pour T, de poids −α_{i}.

De même, ω^{i_{1},...,i_{p}} = ω^{i_{1}} ∧ ... ∧ ω^{i_{p}} ∈ C^{p}(𝔤, ℂ) est un vecteur propre de poids −α_{i_{1}} − … − α_{i_{p}} (1 ⩽ i_{1} < … < i_{p} ⩽ n). Il en est de même de la classe de cohomologie [ω^{i_{1},...,i_{p}}] ∈ H_{ℂ}^{p}(𝔤).

10.2 cocycles harmoniques

Pour tout sous-ensemble H de cardinal p de {1, ..., n}

H = {i_{1}, ..., i_{p}}, 1 ⩽ i_{1} < ... < i_{p} ⩽ n

notons

ω^{H} = ω^{i_{1},...,i_{p}}.

Soit alors (.|.) le produit scalaire hermitien défini sur C^{p}(𝔤, ℂ) by

(ω^{H}|ω^{K}) = δ_{H,K} (symbole de Kronecker),

et d^{∗} l’adjoint de d pour ce produit scalaire. Un cocycle ω ∈ Z_{ℂ}^{p} est dit harmonique si dω = d^{∗}ω = 0.

10.2.1

Lemme 7 ([?]) Soient d, δ des endomorphismes de l’espace vectoriel de dimension finie E tels que d^{2} = δ^{2} = 0 et soit Δ = dδ + δd. Si d et δ sont disjoints (i.e. ∀x ∈ E dδx = 0 ⇒ δx = 0 et δdx = 0 ⇒ dx = 0) alors

Ker Δ = Ker d ∩ Ker δ
E = Im d ⊕ Im δ ⊕ Ker Δ
Ker d/Im d ≅ Ker Δ

Démonstration.

Pour x ∈ Ker Δ, dδx = −δdx. Si y = dδx, alors δy = δdδx = 0 implique dδx = 0 i.e. y = 0, et donc δx = 0 d’où δdx = 0 et dx = 0 . Ainsi Ker Δ ⊂ Ker d ∩ Ker δ , et l’égalité en résulte. Maintenant Im d ∩ Im δ = {0} puisque dx = δz implique dδz = 0 donc δz = 0. De même, (Im d⊕Im δ)∩Ker Δ = 0, et l’on a donc une somme directe Im d ⊕ Im δ ⊕ Ker Δ. Comme Im Δ ⊂ Im d ⊕ Im δ et dim Im Δ + dim Ker Δ = dim E on a Im d ⊕ Im δ = Im Δ et E = Im Δ ⊕ Ker Δ. L’application x ↦ [x] de Ker Δ dans Ker d/Im d est injective; montrons qu’elle est surjective. Soit z ∈ Ker d. Alors z = α+β, α ∈ Im Δ, β ∈ Ker Δ, α = dδγ +δdγ, γ ∈ E; dz = 0 = dα = dδdγ donc δdγ = 0 et α ∈ Im d i.e. [z] = [β]. □

10.2.2

Comme d et d^{∗} sont disjoints, on applique le lemme avec ⨁_{p=0}^{n} C^{p}(𝔤, ℂ) , Ker d /Im d = ⨁_{p=0}^{n} H_{ℂ}^{p}. Le calcul de la cohomologie se réduit donc au calcul des cocycles harmoniques, i.e. au calcul du noyau du laplacien Δ.

10.3 L’Hypothèse de Riemann pour la cohomologie triviale

10.3.1

On dit qu’une algèbre nilpotente 𝔤 avec un tore maximal T vérifie l’Hypothèse de Riemann (notée HR) si H_{ℂ}^{i}(𝔤) et H_{ℂ}^{j}(𝔤) n’ont aucun poids commun pour i ≠ j(1 ⩽ i, j ⩽ n = dim𝔤.)

10.3.2 exemple: l’algèbre de Heisenberg

Soit 𝔤 = H_{1} l’algèbre de Heisenberg de dimension 3 : c’est l’algèbre de Lie de base (x_{1}, x_{2}, x_{3}), avec la relation de commutation [x_{1}, x_{2}] = x_{3}. Le centre de 𝔤 est ℂx_{3}, et l’on a C^{2}𝔤 = ℂx_{3}, C^{3}𝔤 = {0}.

La matrice d’une dérivation δ de 𝔤 dans la base (x_{1}, x_{2}, x_{3}) est

δ = (\begin{matrix}ξ_{1}^{1} & ξ_{2}^{1} & 0 \\ ξ_{1}^{2} & ξ_{2}^{2} & 0 \\ ξ_{1}^{3} & ξ_{2}^{3} & ξ_{1}^{1} + ξ_{2}^{2} \end{matrix})

où ξ_{1}^{1}, ξ_{1}^{2}, ξ_{1}^{3}, ξ_{2}^{1}, ξ_{2}^{2}, ξ_{2}^{3} sont des paramètres indépendants. Si l’on note δ_{i}^{j} la dérivation obtenue en prenant

ξ_{i′}^{j′} = \begin{cases}1 & si i = i′ et j = j′ \\ 0 & sinon \end{cases}

(δ_{1}^{1}, δ_{1}^{2}, δ_{1}^{3}, δ_{2}^{1}, δ_{2}^{2}, δ_{2}^{3}) est une base de Der(𝔤). En notant t_{1} = δ_{1}^{1}, t_{2} = δ_{2}^{2}, T = ℂt_{1} ⊕ ℂt_{2} est un tore maximal de 𝔤. La base (x_{1}, x_{2}, x_{3}) diagonalise l’action de T et en notant (β_{1}, β_{2}) la base de T^{∗} duale de (t_{1}, t_{2}), les poids de 𝔤 sont α_{1} = β_{1}, α_{2} = β_{2}, α_{3} = β_{1} + β_{2}.

En n’écrivant que les images non nulles, d est défini par dω^{3} = −ω^{1,2}. Les dimensions des Z_{ℂ}^{j} (0 ⩽ j ⩽ 3) sont (1, 2, 3, 1); Les dimensions des H_{ℂ}^{j} (0 ⩽ j ⩽ 3) sont (1, 2, 2, 1). H_{ℂ}^{0}(𝔤) = ℂ. Le poids de 1 par rapport à T est nul. H_{ℂ}^{1}(𝔤) = ℂ[ω^{1}] ⊕ ℂ[ω^{2}] et [ω^{1}], [ω^{2}] sont de poids respectifs −β_{1}, −β_{2}. H_{ℂ}^{2}(𝔤) = ℂ[ω^{1,3}] ⊕ ℂ[ω^{2,3}] et [ω^{1,3}], [ω^{2,3}] sont de poids respectifs −2β_{1} −

β_{2}, −β_{1} − 2β_{2}.

H_{ℂ}^{3}(𝔤) = ℂ[ω^{1,2,3}] et [ω^{1,2,3}] est de poids −2β_{1} − 2β_{2}.

On voit que 𝔤 vérifie HR.

Enfin, d^{∗} est défini par d^{∗}ω^{1,2} = −ω^{3}. Δ est défini par Δω^{3} = ω^{3}, Δω^{1,2} = ω^{1,2}. Les cocycles ω^{1}, ω^{2}, ω^{1,3}, ω^{2,3}, ω^{1,2,3} sont harmoniques.

10.3.3

Le nom HR vient du fait que l’on peut définir une fonction ζ_{𝔤} de la variable complexe z, qui est une fonction rationnelle à cefficients dans l’extension de corps ℂ(e^{α_{1}}, …, e^{α_{n}}), et HR se traduit par le fait que les facteurs de ζ_{𝔤} sont premiers entre eux deux à deux. Pour l’algèbre de Heisenberg, cette fonction est:

ζ_{𝔤}(z) = \frac{(1 − e^{−β_{1}}z)(1 − e^{−β_{2}}z)(1 − e^{−2β_{1}−2β_{2}}z)}{(1 − z)(1 − e^{−2β_{1}−β_{2}}z)(1 − e^{−β_{1}−2β_{2}}z)}.

10.3.4 les résultats connus

En utilisant le système de calcul formel REDUCE de A.C HEARN, sur l’un des ordinateurs IBM RISC 6000 du CRI (Centre de Ressources Informatiques) de l’Université de Bourgogne, on a a calculé dans [?] les cohomologies triviale et adjointe des algèbres de Lie nilpotentes de dimension ⩽ 7. [?] est un livre électronique librement accessible et téléchargeable au format Postscript compressé sur Internet à l’URL:

     http://www.u-bourgogne.fr/archives/math/Magnin1.ps.Z

Le résultats sont les suivants:

Pour les algèbre de dimension ⩽ 6, HR est toujours vérifiée.

Pour les algèbres de dimension 7, la situation est différente d’une part parce qu’il existe des algèbres ayant un poids nul, d’autre part du fait de l’existence de séries continues d’algèbres non isomorphes ayant un même système de poids.

De façon précise, on a, suivant le rang de l’algèbre, le nombre suivant de systèmes de poids possibles (on se borne au cas des algèbres qui ne sont pas des produits directs).

rang nombre de systèmes de poids
0  1
1 21 + (3 ayant un poids nul)
2  45
3  24
4  5

total: 99

Il est clair que les algèbres ayant un poids nul ne vérifient pas HR. Si l’on écarte donc les systèmes ayant un poids nul, on obtient deux types de systèmes de poids:

– Type 1: Il n’existe qu’une seule algèbre de Lie (les algèbres isomorphes sont identifiées) ayant ce système de poids.

– Type 2: Il existe une famille continue à un paramètre 𝔤_{λ} , λ ∈ ℂ d’algèbres de Lie nilpotentes, avec 𝔤_{λ} isomorphe à 𝔤_{λ′} si et seulement si λ′ se déduit de λ par un groupe fini de transformations (groupe de symétries du diagramme de Dynkin), et un nombre fini de points limites des 𝔤_{λ} ayant ce système de poids.

Toutes les algèbres de Lie correspondant à un système de poids de type 1 vérifient HR.

Pour un système de type 2, la série continue vérifie HR, sauf pour un nombre fini de valeurs singulières du paramètre pour lesquelles la cohomologie n’est pas la cohomologie générique. Les points limites peuvent satisfaire ou non HR.

10.3.5 un problème ouvert

En dimension plus grandes que 7, on ne sait encore à peu près rien sur HR. Cela est dû d’une part au fait que l’on ne dispose pas d’une classification en dimension quelconque des algèbres de Lie nilpotentes ni des systèmes de poids, bien que des classifications partielles aient été faites jusqu’en dimension 9, et d’autre part au fait que des séries continues à multiparamètres , i.e. à paramètre dans ℂ^{k}, k ⩾ 2, apparaissent.

Cependant on connaît des cas où HR est satisfaite dans des dimensions quelconques, par exemple l’algèbre de Heisenberg 𝔤 = H_{N} de dimension 2N +1, (N ⩾ 1): c’est l’algèbre de Lie de base (x_{i})_{1⩽i⩽2N+1} , avec les relations de commutation

[x_{i}, x_{N+i}] = x_{2N+1} (1 ⩽ i ⩽ N).

Un autre exemple où HR est satisfaite est l’algèbre filiforme générique de dimension n + 1 de base (x_{i})_{0⩽i⩽n} avec les relations de commutation

[x_{0}, x_{i}] = x_{i+1} ∀i 1 ⩽ i < n.

Références

[Be-Ga] BERENSTEIN C.A., GAY R., ” Complex variable ”, Springer , GTM volume 125 , 1991.

[Bo-Hu] BOTT R., HU L.W., ” Differential Forms in Algebraic Topology ”, Springer , GTM volume 82, 1982.

[Bou] BOURBAKI N., ” Groupes et Algèbres de Lie ”, Chap. 1, Hermann, Paris, 1971.

[Co] CONWAY J.B., ” Functions of one complex variable ”, Springer , GTM volume 11 (2de édition), 1978.

[Cro] CROMWELL P.R., ” Polyedra ”, Cambridge , 1996.

[Gr-Hal-Va] GREUB N., HALPERIN S., VANSTONE R. ”Connections, Curvature and Cohomology”, (3 volumes), Academic Press, NY 1972.

[Ko] KOSTANT B., ”Lie algebra cohomology and the generalized Borel-Weil theorem”, Ann. Math., 74 , 1961, 329-388.

[Mag] MAGNIN L., ”Adjoint and trivial cohomology tables for indecomposable nilpotent Lie algebras of dimension ≤ 7 over ℂ”, livre électronique (906 pages + vi), 1995, téléchargeable gratuitement au format Postcript sur Internet à l’URL

  http://www.u-bourgogne.fr/archives/math/Magnin1.ps.Z

ou par ftp à

     ftp://ftp.u-bourgogne.fr/pub/math/Magnin1.ps.Z

ou sur le serveur American Mathematical Society Preprint Server

             http://www.ams.org/preprints/

[Mass] MASSEY W.S., ” A Basic Course in Algebraic Topology ”, Springer, GTM volume 127, 1991.

[Ru] RUDIN W., ” Real and Complex Analysis ”, Mac-Graw Hill, (Traduction chez Masson, Paris), 1974.

[Var] VARADARAJAN V.S., ” Lie Groups, Lie Algebras and their Representations ”, Springer , GTM volume 102, 1984.

[Vick] VICK, J.W., ” Homology theory ”, Springer , GTM volume 145, 1994.